Шесть нелинейных ламп

Лампа перегорает при токе \(I_0=\alpha\sqrt{U_0}\). Какая лампа пропускает наибольший ток и как этот ток делится в параллельном участке?

Одиночная лампа перегорает, когда ток через нее достигает значения \(I_0=\alpha\sqrt{U_0}=0{,}3\ \text{А}\); при меньшем токе лампа работает. Поэтому перегорит та лампа, через которую течет наибольший ток, т.е. самая левая лампа. При этом напряжение на ней будет равно \(U_1=U_0=4\ \text{В}\).

На участке параллельного соединения одной и двух ламп ток \(I_0=0{,}3\ \text{А}\), протекающий через левую лампу, делится в некоторой пропорции на два тока, причем отношение этих токов не равно \(2{:}1\) из-за нелинейной вольтамперной характеристики ламп. Пусть в верхнем участке соединения течет ток \(I_в\), в нижнем \(I_н\). Тогда для этих токов справедливы условия — сумма токов равна \(I_0\), напряжения на верхнем и нижнем участках одинаковы: \[I_в+I_н=I_0, \qquad \left(\frac{I_в}{\alpha}\right)^2=2\left(\frac{I_н}{\alpha}\right)^2 .\] Отсюда находим токи, а затем и напряжение на рассматриваемом участке (из вольтамперной характеристики): \[I_в=\frac{\sqrt{2}\,I_0}{\sqrt{2}+1}, \qquad U_2=\left(\frac{I_в}{\alpha}\right)^2=\frac{2I_0^2}{(\sqrt{2}+1)^2\alpha^2} =\frac{2U_0}{(\sqrt{2}+1)^2}\approx 1{,}38\ \text{В}.\] При параллельном соединении двух одинаковых ламп этот ток поделится пополам: \(I_3=0{,}15\ \text{А}\), а напряжение на этом участке будет равно \[U_3=\left(\frac{I_3}{\alpha}\right)^2=\left(\frac{I_0}{2\alpha}\right)^2=\frac{U_0}{4}=1\ \text{В}.\] Таким образом, предельное напряжение источника, при котором еще не перегорает ни одна из ламп, составляет \[U=U_1+U_2+U_3=U_0+\frac{2U_0}{(\sqrt{2}+1)^2}+\frac{U_0}{4}\approx 6{,}38\ \text{В}.\]