Задачи › Неупругие столкновения

Столкновение шайб с пластилином

  1. Столкновение шайб с пластилином

    Физтех 2022/23, 11 кл.
    5/10

    Две небольшие шайбы скользят по гладкой горизонтальной поверхности так, как показано на рисунке, после чего происходит их столкновение. Масса первой шайбы \(2m\), скорость \(3V_0\), масса второй шайбы \(3m\), скорость \(V_0\). Угол между направлениями скоростей \(60^\circ\). К первой шайбе прикреплён кусочек пластилина массы \(m\).

    Рисунок

    1. Найдите скорость шайб, если после столкновения они приклеились друг к другу.

    2. На какую величину \(E_0\) увеличится внутренняя энергия системы после такого столкновения?

    3. Известно, что произошёл такой удар, что шайбы не слиплись, а пластилин полностью прилип к правой шайбе. При этом внутренняя энергия системы увеличилась на величину \(E_0/2\) (см. предыдущий пункт задачи). Найдите модуль скорости одной шайбы относительно другой после такого удара.

    Движения шайб до и после удара поступательные. В ответах допустимы обыкновенные дроби и радикалы.
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для первого пункта примените закон сохранения импульса и теорему косинусов. Во втором и третьем пунктах переходите к системе центра масс: относительные скорости в ней одинаковы.

    Ответ

    1) \(V = \dfrac{\sqrt7}{2}V_0\);  2) \(E_0 = \dfrac{39}{4}mV_0^2\);  3) \(V_{2\text{ОТН}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{4}V_0\).

    Решение

    1) Начальные импульсы \(9mV_0\) и \(3mV_0\), конечный импульс \(6mV\). По ЗСИ, используя теорему косинусов, \[(6mV)^2 = (9mV_0)^2 + (3mV_0)^2 - 2\cdot 9mV_0\cdot 3mV_0\cos 60^\circ.\] Отсюда \(V = \dfrac{\sqrt7}{2}V_0\).

    2) По ЗСЭ: \(E_0 = \dfrac12\,3m(3V_0)^2 + \dfrac12\,3m(3V_0)^2 - \dfrac12\,6mV^2 = \dfrac{39}{4}mV_0^2\).

    3) Перейдём в систему центра масс (СЦМ). Приведённые массы до и после удара \(\mu_1 = \dfrac{3m\cdot 3m}{3m+3m} = \dfrac32 m\), \(\mu_2 = \dfrac{2m\cdot 4m}{2m+4m} = \dfrac43 m\). Относительные скорости одинаковы в ЛСО и СЦМ. До удара по теореме косинусов \(V_{1\text{ОТН}}^2 = (3V_0)^2 + V_0^2 - 2\cdot 3V_0\cdot V_0\cos(180^\circ - 60^\circ) = 13V_0^2\). По ЗСЭ: \(\dfrac12\mu_1 V_{1\text{ОТН}}^2 = \dfrac12\mu_2 V_{2\text{ОТН}}^2 + \dfrac12 E_0\), откуда \(V_{2\text{ОТН}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{4}V_0\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх