Пластина, собирающая лучи

Световой луч, проходящий через некоторые точки \(A\) и \(B\), распространяется по такому пути между ними, который имеет экстремальную оптическую длину (это утверждение называется принципом Ферма). Для параллельного пучка лучей, проходящих через нашу пластину, это означает, что все лучи, идущие от её левой поверхности до фокуса, имеют одинаковую оптическую длину. Кроме того, понятно, что правая поверхность пластины должна быть осесимметричной — в противном случае параллельный пучок не сможет собраться в фокусе.

Изобразим на рисунке 4.19 сечение пластины плоскостью, в которой лежит указанная ось симметрии. Обозначим расстояние от плоской поверхности пластины до фокуса через \(L\) и рассмотрим произвольный луч из пучка, упавший на плоскую поверхность пластины на расстоянии \(x\) от начала координат. Тогда оптическая длина пути для этого луча равна

\[l = ny + \sqrt{x^2 + (L - y)^2} = \text{const},\] так как все лучи независимо от точки падения должны иметь одинаковую оптическую длину. Это условие представляет собой записанное в неявном виде искомое уравнение функции \(y(x)\), определяющей форму правой поверхности пластины.

Для малых отклонений \(x\) падающих лучей от оси симметрии (при \(x \ll (L - y)\)) полученное уравнение можно преобразовать. Вынесем из-под знака корня величину \((L - y)\) и применим приближённую формулу \(\sqrt{1 + z} \approx 1 + (z/2)\). В результате получим: \[y(n - 1) + L + \dfrac{x^2}{2(L - y)} \approx \text{const}.\] Для удобства представления этого результата найдём максимальную толщину пластины \(y_0\). Для этого положим в полученном уравнении \(x = 0\). Тогда \(y_0 = (\text{const} - L)/(n - 1)\) и \[y \approx y_0 - \dfrac{x^2}{2(n - 1)(L - y_0)}.\] При записи последнего уравнения мы учли, что вблизи оси симметрии пластины \(L - y \approx L - y_0\). Полученное уравнение при \(x \ll (L - y)\) представляет собой уравнение сферы радиусом \(R = (L - y_0)(n - 1)\). Отметим, что так как \(L - y_0 = F\) (где \(F\) — фокусное расстояние), то \(R = F(n - 1)\), что совпадает с известным результатом для радиуса кривизны поверхности линзы.