Шарик на двух пружинах

Легко видеть, что движение по «восьмёрке» возможно тогда и только тогда, когда частота колебаний шарика в вертикальном направлении \(\omega_{\text{в}}\) в два раза превышает частоту его колебаний в горизонтальном направлении \(\omega_{\text{г}}\), то есть \(\omega_{\text{в}} = 2\omega_{\text{г}}\).

Обозначим силы натяжения пружин через \(T\), а их коэффициенты жёсткости через \(k\); при этом \(T = k(l - l_0)\). Тогда при отклонении шарика в горизонтальном направлении на расстояние \(x \ll l\) на него будет действовать горизонтальная возвращающая сила \(F = -(2T/l)x\). Поэтому квадрат частоты горизонтальных колебаний равен \(\omega_{\text{г}}^2 = 2T/(ml)\). Для вертикальных колебаний, очевидно, получаем: \(\omega_{\text{в}}^2 = 2k/m\).

Поскольку \(\omega_{\text{в}}^2 = 4\omega_{\text{г}}^2\), то \(\dfrac{2k}{m} = 4\cdot\dfrac{2k(l - l_0)}{ml}\), или \(1 - (l_0/l) = 1/4\). Следовательно, \(l_0 = (3/4)l\).