Кольца на колеблющемся стержне

Рассмотрим движение одного кольца, прикреплённого к стержню на расстоянии \(H\) от его нижнего конца. В тот момент, когда горизонтальная скорость кольца при его колебаниях вместе со стержнем равна \(v\), центростремительное ускорение этого кольца равно \(v^2/H\), и касательная составляющая силы его давления на стержень \(T = mg - (mv^2/H)\). Усредняя это равенство по времени за период колебаний и учитывая, что верхний конец стержня совершает гармонические колебания \(x = a\sin\omega t\), то есть скорость рассматриваемого кольца изменяется со временем \(t\) по закону \(v = \omega(aH/l)\cos\omega t\), получаем: \[\langle T\rangle = mg - \dfrac{m\langle v^2\rangle}{H} = mg - \dfrac{mv_{\max}^2}{2H} = mg - \dfrac{m(\omega aH/l)^2}{2H} = m\left(g - \dfrac{\omega^2a^2H}{2l^2}\right).\] Здесь \(v_{\max} = \omega aH/l\) — максимальное значение скорости рассматриваемого кольца при колебаниях, а угловыми скобками обозначена операция усреднения по времени.

Из полученного выражения видно, что при достаточно больших частотах и не слишком малой по сравнению с \(l\) величине \(H\) касательная составляющая силы давления кольца на стержень становится в среднем за период отрицательной, то есть направленной вверх. Следовательно, при \(H > \dfrac{2gl^2}{\omega^2a^2}\) кольцо стремится подняться вверх, что непременно и сделает после освобождения. Таким образом, кольца, отстоящие от нижнего конца стержня на расстояние, превышающее \(H_0 \approx \dfrac{2gl^2}{\omega^2a^2}\), слетят с верхнего конца стержня через некоторое время после расплавления припоя, а остальные останутся и упадут вниз, к шарниру. Поэтому часть (доля) колец, которая останется на стержне, равна \(\eta = \dfrac{H_0}{l} \approx \dfrac{2gl}{\omega^2a^2}\).