Колебания куба на пружине

Обозначим амплитуду установившихся колебаний куба через \(x\). Тогда сила, деформирующая пружину при минимальной (и максимальной) её длине, равна \(F = kx\). Заранее предположим, что смещение \(l\) много меньше амплитуды колебаний. Тогда при этом смещении работу внешних сил можно записать в виде \(A = Fl = kxl\). Эта работа совершается дважды за период и равна изменению энергии системы за то же время: \[\Delta W = \alpha W_{\text{полн}} = 2A = 2kxl,\] где \(\Delta W\) — потеря энергии за период из-за вязкого трения.

За 10 периодов амплитуда колебаний куба уменьшается в два раза, следовательно энергия уменьшается в четыре раза. Отсюда \[(1 - \alpha)^{10} = \dfrac{1}{4}\quad\text{и}\quad \alpha = 1 - \dfrac{1}{\sqrt[5]{2}}.\] Из условия баланса энергии \[\alpha\dfrac{kx^2}{2} = 2kxl,\] отсюда \[x = \dfrac{4l}{\alpha} = \dfrac{4l}{1 - \dfrac{1}{\sqrt[5]{2}}} \approx 31\text{ мм} \gg 1\text{ мм}.\] Таким образом, сделанное вначале предположение в заданных условиях задачи выполняется.