Эффект Холла

Вначале выясним, почему возникает холловская разность потенциалов. На рис. 160 показаны направление магнитного поля \(\vec B\), направление тока \(I\) и соответствующие ему направления движения положительных (дырок) и отрицательных (электронов) носителей зарядов. Магнитное поле искривляет траекторию движения носителей зарядов, как это показано на рис. 160.

Из-за различия потоков электронов и дырок на поверхности \(A\) собираются положительные заряды, а на поверхности \(B\) отрицательные. Возникает напряжение \(\varphi_A - \varphi_B = U\), создающее поперечную напряжённость электрического поля \(E_\perp = U/b\), препятствующую дальнейшему оседанию зарядов на поверхностях (рис. 160). В стационарном состоянии поток электронов к пластине должен быть равен потоку дырок: \[n\cdot v_\perp^n = p\cdot v_\perp^p, \qquad (216)\] где \(v_\perp^n\) и \(v_\perp^p\) — перпендикулярные к граням \(A\) и \(B\) составляющие скорости электронов и дырок. Эти составляющие обусловлены как силой Лоренца, так и поперечной к пластинам напряжённостью электрического поля \(E_\perp\), создаваемого зарядами пластин: \[v_\perp^n = \mu_n(v_nB + E_\perp) = \mu_n^2EB + E_\perp\mu_n, \qquad (217)\] \[v_\perp^p = \mu_p(v_pB - E_\perp) = \mu_p^2EB - E_\perp\mu_p. \qquad (218)\] Здесь \(E\) — составляющая напряжённости электрического поля вдоль тока \(I\). Она определяет скорость движения носителей вдоль пластин: \[v_n = \mu_nE,\qquad v_p = \mu_pE.\] Эти скорости обеспечивают ток \(I\): \[I = e(nv_n + pv_p)ab = eE(n\mu_n + p\mu_p)ab, \qquad (219)\] где \(e\) — элементарный заряд, \(b\) — ширина пластины. Подставляем выражения (217) и (218) в формулу (216): \[EB(\mu_p^2p - \mu_n^2n) = E_\perp(\mu_nn + \mu_pp).\] Имеем \(E_\perp = U/b\), а \(E\) определяется равенством (219). Учитывая это, получим \[U = \dfrac{BI}{a}\cdot\dfrac{\mu_p^2p - \mu_n^2n}{e(\mu_nn + \mu_pp)^2},\] откуда \[R = \dfrac{\mu_p^2p - \mu_n^2n}{e(\mu_nn + \mu_pp)^2}.\] Знак коэффициента Холла определяет тип проводимости полупроводника: для полупроводника с дырочной проводимостью \(R > 0\), для электронного \(R < 0\).