Концентрация электронов в пластинке кремния
Через тонкую пластинку кремния \(n\)-типа пропускают постоянный ток силой \(I=8\) мА. Пластинка помещена в однородное магнитное поле с индукцией \(B=0{,}1\) Тл, перпендикулярное длинным боковым граням пластинки и направлению тока (см. рисунок). Милливольтметр, подключенный между двумя другими противоположными большими гранями пластинки, фиксирует возникающую при этом разность потенциалов \(U=4\) мВ. Ширина пластинки равна \(b=5\) мм. Определите по этим данным концентрацию электронов проводимости \(n\) в пластинке. Модуль заряда электрона примите равным \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл. Возникающее поперечное электрическое поле внутри пластинки считайте приближенно однородным. Ответ выразите в \(10^{14}\) см\(^{-3}\) и округлите до десятых долей.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ стационарном состоянии сила Лоренца уравновешена силой со стороны поперечного электрического поля. Выразите дрейфовую скорость через плотность тока и концентрацию.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(n=\dfrac{IB}{eUb}\approx2{,}5\cdot10^{20}\) м\(^{-3}=2{,}5\cdot10^{14}\) см\(^{-3}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеНа каждый электрон проводимости в пластинке перпендикулярно его скорости направленного движения (дрейфовой скорости), а значит и току, действует составляющая силы Лоренца, равная по модулю \(F_L=e\upsilon B\). Стационарному состоянию потока зарядов соответствует ситуация, когда эта сила будет уравновешена силой со стороны поля электрического, возникающего из-за смещения электронной плотности между большими гранями пластинки, модуль которой равен \(F_e=eE\). Напряжённость электрического поля связана с разностью потенциалов между противоположными гранями пластинки (в некотором приближении, предложенном по условию задачи — аналог поля внутри конденсатора) соотношением \(E=\dfrac{U}{d}\), где \(d\) — толщина пластинки. Плотность тока определяется концентрацией носителей тока \(n\) и их дрейфовой скоростью \(\upsilon\): \(j=e\,n\,\upsilon\). Плотность тока, в свою очередь, равна отношению силы тока к площади поперечного сечения проводника \(S\): \(j=\dfrac{I}{S}\) или \(j=\dfrac{I}{d\,b}\), где \(d\) и \(b\) — толщина и ширина пластинки соответственно. Решая систему представленных уравнений, приходим к ответу задачи: \[n=\frac{IB}{eUb}\approx2{,}5\cdot10^{20}~\text{м}^{-3}=2{,}5\cdot10^{14}~\text{см}^{-3}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.