Задача 2
В предложенной задаче вам предстоит разобраться с двумя явлениями, связанными с действием магнитного поля на электрические свойства проводников: эффект Холла и магнетосопротивление.
Эффект Холла - возникновение в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, электрического поля в направлении, перпендикулярном и вектору плотности тока и вектору индукции магнитного поля.
Магнетосопротивление - изменение удельной проводимости проводника во внешнем магнитном поле.
Как известно, в металлах носителями тока являются свободные электроны (заряд \(e\), масса \(m\)). В отсутствие каких либо направленных сил, действующих на электроны, все направления движения последних равновероятны. Т.е. электроны находятся в беспорядочном движении подобно молекулам газа. Соответственно для свободных электронов можно ввести понятие средней длины свободного пробега, средней скорости хаотического движения и среднего времени свободного пробега \(\tau\).
Под действием направленной силы на беспорядочное движение электронов накладывается систематическое (дрейфовое) движение. В классическом рассмотрении предполагается, что при наличии внешней силы электрон ускоряется в направлении действия силы в течение времени \(\tau\), а затем, испытав соударение (рассеяние), совершенно «забывает» о своей направленной скорости. Это приводит к тому, что электрон медленно движется в направлении действующей силы с некоторой средней скоростью дрейфа \(v\).
Примечание. Для упрощения рассуждений будем считать, что электрон обладает положительным зарядом.
1. Пусть внутри проводника создано постоянное электрическое поле \(E_X\). Определите среднюю скорость дрейфа электронов \(v_X\).
При рассмотрении электрических токов в проводниках удобно пользоваться понятием подвижности. Под действием силы \(F\) электрон начинает двигаться со скоростью \(v = \mu \cdot \frac{F}{e}\). Коэффициент \(\mu\) называется подвижностью.
2. Выразите \(\mu\) через заряд, массу электрона (\(e\) и \(m\)) и время свободного пробега \(\tau\).
3. Считая, что концентрация электронов в металле равна \(n\), определите связь между удельной проводимостью \(\sigma_0\) и подвижностью электронов \(\mu\).
Перейдём к непосредственному изучению гальваномагнитных явлений. Пусть в проводнике создано поле \(E_X\). При помещении его в магнитное поле \(B_Z\) электроны уже не будут двигаться строго в направлении оси OX. Мы рассмотрим лишь случай слабого поля, когда это отклонение невелико. Движение зарядов в направлении оси OY приведёт к тому, что на границе проводника будут собираться электроны, что в свою очередь вызовет появление поля \(E_Y\) (эффект Холла) (см. рис. 1. Электроны считаются положительными). Т.к. магнитное поле слабое, то и напряжённость поля \(E_Y\) также будет небольшой по сравнению с полем \(E_X\).
4. Пусть \(v_X\) и \(v_Y\) - проекции дрейфовой скорости электрона на оси OX и OY. Выразите эти проекции через подвижность \(\mu\) и составляющие полей \(E_X\), \(E_Y\) и \(B_Z\).
Предположим, что каким-либо образом удаётся избежать накопления зарядов на границах образца (например, образец бесконечен вдоль оси OY, либо вдоль этой оси
приложено внешнее поле, полностью компенсирующее поле \(E_Y\)). В этом случае удельная проводимость образца уменьшится. Это и есть магнетосопротивление, которое принято характеризовать относительным изменением удельной проводимости \(\frac{\sigma_0 - \sigma}{\sigma_0} = \frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}\).
5. В нашей модели проводника магнетосопротивление приводит к относительному уменьшению удельной проводимости \(\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0} \approx (\mu B_Z)^\gamma\). Определите \(\gamma\).
Примечание. В дальнейшем следует пренебрегать величиной \((\mu B_Z)\) в степени большей чем \(\gamma\).
6. Под каким углом \(\alpha\) к оси OX будет направлена дрейфовая скорость электронов? Если позволить зарядам накапливаться на границах образца, то очень быстро установится равновесное значение поля \(E_Y\), при котором прекратится ток вдоль оси OY. Будем, для простоты, характеризовать эффект Холла безразмерной постоянной \(H\), которая определяется из соотношения:
\[E_Y = H \mu B_Z E_X.\]
7. Определите постоянную \(H\) в данной модели проводника.
8. Покажите, что возникающее в результате эффекта Холла поле \(E_Y\) полностью «уничтожает» магнетосопротивление.
Таким образом, при анализе простейшей модели проводника магнетосопротивление наблюдается только при определённых (искусственных) условиях. Если не компенсировать поле \(E_Y\), то эффект Холла приводит к исчезновению магнетосопротивления.
Однако в реальных проводниках, помещённых в магнитное поле, эти два эффекта существуют одновременно. Для более точного расчета необходимо учитывать распределение электронов по скоростям. Скорость беспорядочного движения не одинакова у всех электронов, т.е. не одинаково время свободного пробега, а значит и различна подвижность.
Подробное описание этих явлений крайне проблематично осуществить ученику 11 класса. Однако в самом простейшем случае различие в подвижностях можно учесть следующим образом. Пусть в проводнике существует два типа электронов. Их концентрация одинакова (\(n_1 = n_2 = n\)), а подвижность одних в два раза больше подвижности других (\(\mu_1 = \mu\), \(\mu_2 = 2\mu_1 = 2\mu\)).
9. Определите удельную проводимость \(\sigma_0\) в такой модели в отсутствие магнитного поля.
В проводнике создается поле \(E_X\). Проводник помещается в магнитное поле \(B_Z\).
10. Определите возникающую в результате эффекта Холла напряженность \(E_Y\). Определите также постоянную \(H\).
11. Покажите, что в такой модели магнетосопротивление присутствует и \(\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0} \approx \delta \cdot (\mu B_Z)^\gamma\), где \(\gamma\) имеет значение, уже полученное вами в пункте 5. Определите значение постоянной \(\delta\).
12. Качественно опишите, как будут двигаться электроны каждого сорта в проводнике. Под какими углами \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) к оси OX будут направлены их дрейфовые скорости?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыпишите силы, действующие на дрейфующий заряд (электрическая и Лоренца), и свяжите скорость дрейфа с силой через подвижность; в слабом поле раскладывайте результат по малому параметру \(\mu B_Z\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_X=\dfrac{e\tau}{2m}E_X\); 2) \(\mu=\dfrac{e\tau}{2m}\); 3) \(\sigma_0=ne\mu\); 4) \(v_X=\mu(E_X+v_YB_Z)\), \(v_Y=\mu(E_Y-v_XB_Z)\); 5) \(\gamma=2\); 6) \(\alpha\approx\mu B_Z\); 7) \(H=1\); 9) \(\sigma_0=3ne\mu\); 10) \(E_Y=\tfrac53\mu B_ZE_X\), \(H=\tfrac53\); 11) \(\delta=\tfrac29\); 12) \(\alpha_1\approx\tfrac23\mu B_Z\), \(\alpha_2\approx-\tfrac13\mu B_Z\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеСчитаем электрон положительно заряженной частицей.
1. Электрон движется с ускорением \(a_X=\dfrac{eE_X}{m}\) в течение времени \(\tau\) и набирает направленную скорость \(v=\dfrac{eE_X}{m}\tau\). Средняя скорость дрейфа \[v_X=\frac{e\tau}{2m}E_X.\] Коэффициент \(1/2\) не имеет принципиального значения.
2. Подставляя \(F/e=E_X\) в \(v=\mu F/e\), получаем \(\mu=\dfrac{e\tau}{2m}\).
3. Плотность тока \(j_X=nev_X=ne\mu E_X=\sigma_0E_X\), откуда \(\sigma_0=ne\mu\).
4. Движение вдоль \(OX\) приводит к силе Лоренца вдоль \(-OY\), а движение вдоль \(OY\) — к силе Лоренца вдоль \(+OX\): \[F_X=eE_X+ev_YB_Z,\qquad F_Y=eE_Y-ev_XB_Z.\] Отсюда скорости дрейфа \[v_X=\mu(E_X+v_YB_Z),\qquad v_Y=\mu(E_Y-v_XB_Z).\] Решая систему: \[v_X=\frac{\mu(E_X+\mu E_YB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2},\qquad v_Y=\frac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2}.\]
5. При \(E_Y=0\): \[v_X=\frac{\mu E_X}{1+\mu^2B_Z^2},\qquad v_Y=\frac{-\mu^2B_ZE_X}{1+\mu^2B_Z^2}.\] Плотность тока \(j_X=nev_X\approx ne\mu E_X(1-\mu^2B_Z^2)=\sigma E_X\), поэтому \[\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}=(\mu B_Z)^2,\qquad \gamma=2.\]
6. Так как поле слабое, угол мал: \(\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{v_Y}{v_X}=\mu B_Z\).
7. Заряды перестанут накапливаться на границах при \(v_Y=0\); тогда \(E_Y=\mu B_ZE_X\), то есть \(H=1\).
8. Подставляя это \(E_Y\) в выражение для \(v_X\): \[v_X=\frac{\mu(E_X+\mu^2B_Z^2E_X)}{1+\mu^2B_Z^2}=\mu E_X,\] то есть получается то же значение, что и без магнитного поля: магнетосопротивления нет.
9. Полный ток двух типов электронов: \(j_X=nev_{1X}+nev_{2X}=ne\mu E_X+ne\cdot2\mu E_X=3ne\mu E_X\), то есть \(\sigma_0=3ne\mu\).
10. Для каждого сорта электронов (\(\mu_1=\mu\), \(\mu_2=2\mu\)): \[v_{1X}=\frac{\mu(E_X+\mu E_YB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2},\quad v_{1Y}=\frac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2},\] \[v_{2X}=\frac{2\mu(E_X+2\mu E_YB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2},\quad v_{2Y}=\frac{2\mu(E_Y-2\mu E_XB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\] Ток вдоль \(OY\) прекращается, если \(v_{1Y}=-v_{2Y}\) (концентрации одинаковы): \[\frac{\mu(E_Y-\mu E_XB_Z)}{1+\mu^2B_Z^2}=-\frac{2\mu(E_Y-2\mu E_XB_Z)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\] Решение: \[E_Y=\frac53\,\mu B_ZE_X\,\frac{1+\frac85\mu^2B_Z^2}{1+2\mu^2B_Z^2}\approx\frac53\,\mu B_ZE_X\Bigl(1-\frac25\mu^2B_Z^2\Bigr).\] Пренебрегая слагаемым порядка \(\mu^3B_Z^3\), получаем \(E_Y\approx\dfrac53\mu B_ZE_X\), то есть \(H=\dfrac53\).
11. Подставляя \(E_Y\) в выражения для \(v_{1X}\) и \(v_{2X}\): \[v_{1X}=\frac{\mu E_X\bigl(1+\frac53\mu^2B_Z^2\bigr)}{1+\mu^2B_Z^2},\qquad v_{2X}=\frac{2\mu E_X\bigl(1+\frac{10}3\mu^2B_Z^2\bigr)}{1+4\mu^2B_Z^2}.\] Сохраняя величины порядка \(\mu^2B_Z^2\): \[j_X=ne(v_{1X}+v_{2X})\approx3ne\mu E_X\Bigl(1-\frac29\mu^2B_Z^2\Bigr),\] откуда \[\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}=\frac29(\mu B_Z)^2,\qquad\delta=\frac29,\quad\gamma=2.\]
12. Менее подвижные электроны увлекаются полем \(E_Y\) вдоль положительного направления оси \(OY\); на более подвижные сильнее влияет сила Лоренца, поэтому вдоль \(OY\) они движутся в отрицательном направлении. Подстановка \(E_Y\) в \(v_{1Y}\), \(v_{2Y}\) даёт \[v_{1Y}=\frac23\mu^2B_ZE_X,\qquad v_{2Y}=-\frac23\mu^2B_ZE_X,\] \[v_{1X}\approx\mu E_X,\qquad v_{2X}\approx2\mu E_X.\] Следовательно, \[\alpha_1\approx\frac{v_{1Y}}{v_{1X}}\approx\frac23\mu B_Z,\qquad\alpha_2\approx\frac{v_{2Y}}{v_{2X}}\approx-\frac13\mu B_Z.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Эффект Холла «Туймаада» 2003/04, заключительный этап, 11 кл.
- Эффект Холла ВсОШ 2020/21, региональный этап, 11 кл.
- Эффект Холла IPhO 1984/85, заключительный этап, 11 кл.
- Гигантское магнетосопротивление APhO 2017/18, заключительный этап, 11 кл.
- Намагниченный гвоздь Белорусская 2012/13, заключительный этап, 11 кл.
- Шарик в магнитном поле МОШ 1960/1986, заключительный этап, 8-11 кл.