Эффект Холла
5/10Электроны являются носителями тока в металлах и полупроводниках \(n\)-типа. Если образец с током (прямоугольный кусочек плёнки полупроводника \(n\)-типа) помещён в магнитное поле и через него протекает ток, то на движущиеся электроны действует сила Лоренца \(F = e\upsilon B\), перпендикулярная скорости электрона и вектору магнитной индукции. Здесь \(\upsilon\) — средняя скорость дрейфа электронов, связанная с током \(I\) и пропорциональная напряжённости электрического поля \(E\) в направлении тока: \(\upsilon = \mu E\), где \(\mu\) — подвижность электронов. В установившемся режиме напряжённость поперечного поля \(E_x = \upsilon B\).
Источник с ЭДС \(\mathcal{E} = 10\) В и малым внутренним сопротивлением создаёт ток; \(B = 1{,}0\) Тл. Переменным резистором \(r\) меняют ток, вольтметром измеряют напряжение \(U_x\) между боковыми гранями. Размеры образца: толщина \(d = 1{,}0\) мкм, ширина \(b = 5{,}0\) мм, длина \(L = 1{,}0\) см, \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\) Кл.
Зависимость \(U_x\) от сопротивления \(r\) (кОм, В): \(r = 2{,}5\): \(U_x = 1{,}2\); \(2{,}0\): \(1{,}4\); \(1{,}5\): \(1{,}6\); \(1{,}0\): \(1{,}8\); \(0{,}5\): \(2{,}1\); \(0{,}0\): \(2{,}5\).
Выразите \(U_x\) через силу тока \(I\) в образце, концентрацию \(n\) электронов проводимости и величины \(\mathcal{E}\), \(B\), \(d\), \(b\), \(L\), \(e\).
Выразите сопротивление \(R\) и удельное сопротивление \(\rho\) образца через его размеры, подвижность \(\mu\) и концентрацию \(n\).
Используя п. 1 и 2, выразите \(U_x\) через \(n\), \(\mu\), \(r\) и величины из описания.
По графическому анализу данных определите: а) концентрацию \(n\); б) подвижность \(\mu\); в) удельное сопротивление \(\rho\). Опишите способ обработки.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаЗакон Ома для всей цепи \(\mathcal{E} = I(r + R)\) и \(U_x = IB/(end)\) вместе дают зависимость \(U_x\) от \(r\), которую удобно привести к линейному виду относительно \(r\).
Ответ1) \(U_x = \dfrac{IB}{end}\); 2) \(R = \dfrac{L}{en\mu bd}\), \(\rho = \dfrac{1}{en\mu}\); 3) \(\dfrac{\mathcal{E}B}{U_x} = den\,r + \dfrac{L}{\mu b}\); 4) \(n \approx 1{,}1\cdot 10^{22}\) м\(^{-3}\), \(\mu \approx 0{,}49\) м\(^2\)/(В\(\cdot\)с), \(\rho \approx 1{,}2\cdot 10^{-3}\) Ом\(\cdot\)м.
Решение1. Скорость дрейфа \(\upsilon = I/(bdne)\), поэтому \(U_x = B\upsilon b = \dfrac{IB}{end}\).
2. Из \(E = U/L\) и \(\upsilon = \mu U/L\) находим \(I = en\mu Ubd/L\), отсюда \(R = \dfrac{L}{en\mu bd}\) и \(\rho = \dfrac{1}{en\mu}\).
3. Закон Ома для цепи: \(\mathcal{E} = I(r + R)\). Подставляя \(I = IB/(U_x\cdot end)\) и \(R\) из п. 2, получаем \(\dfrac{\mathcal{E}B}{U_x} = den\,r + \dfrac{L}{\mu b}\): обратная величина \(U_x\) линейна по \(r\).
4. Строим график \(\mathcal{E}B/U_x\) от \(r\) по таблице (значения \(4{,}0\); \(4{,}8\); \(5{,}6\); \(6{,}3\); \(7{,}1\); \(8{,}3\) Тл при \(r = 0\); \(0{,}5\); \(\dots\); \(2{,}5\) кОм). Прямая имеет свободный член \(4{,}1\) Тл и угловой коэффициент \(1{,}7\cdot 10^{-3}\) Тл/Ом. Отсюда \(\mu = \dfrac{L}{b\cdot 4{,}1\,\text{Тл}} \approx 0{,}49\) м\(^2\)/(В\(\cdot\)с), \(n = \dfrac{\text{наклон}}{ed} \approx 1{,}1\cdot 10^{22}\) м\(^{-3}\), \(\rho = \dfrac{1}{en\mu}\approx 1{,}2\cdot 10^{-3}\) Ом\(\cdot\)м.