Задачи › Вихревое электрическое поле, закон Фарадея

Полетели

  1. Полетели

    ВсОШ 2020/21, 11 кл.
    7/10

    В вакууме в невесомости между круглыми полюсами электромагнита на расстоянии \(x\) от оси магнита покоится частица массы \(m\) и заряда \(q\). Сначала магнитное поле равно нулю. Затем за малый промежуток времени индукция магнитного поля увеличивается до значения \(B_0\) и поддерживается постоянной в течение времени \(\tau < \pi m/(qB_0)\), после чего очень быстро уменьшается до нуля.

    Рисунок

    1. Почему частица приходит в движение? Опишите качественно траекторию частицы.

    2. С какой скоростью движется частица после включения магнитного поля?

    3. С какой скоростью движется частица после выключения магнитного поля?

    4. На каком минимальном расстоянии от оси магнита проходит траектория частицы?

    5. Через какое время от момента включения поля частица окажется на минимальном расстоянии от оси магнита?

    Магнитное поле в пределах полюсов можно считать однородным. Перемещением частицы за время включения и выключения поля можно пренебречь.
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Изменение магнитного потока создаёт вихревое электрическое поле, перпендикулярное радиусу. Оно разгоняет частицу, а затем сила Лоренца закручивает её по окружности; после выключения поля вихревое поле меняет скорость ещё раз.

    Ответ

    1) вихревое электрическое поле при изменении \(B\) разгоняет частицу; траектория — дуга окружности, переходящая в прямую, проходящую через ось магнита; 2) \(\upsilon = \dfrac{qxB_0}{2m}\); 3) \(u = \dfrac{qxB_0}{2m}\sin\dfrac{\alpha}{2}\), где \(\alpha = \dfrac{\tau qB_0}{m}\); 4) \(r_{\min} = 0\) (траектория проходит через ось); 5) \(\Delta t = \tau + \dfrac{2m}{qB_0}\,\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\).

    Решение

    Изменение магнитного потока через контур радиуса \(x\) порождает вихревое поле \(E_{\text{вихр}} = \dfrac{x}{2}\dfrac{dB}{dt}\). За время установления \(B_0\) скорость частицы получает приращение \(\upsilon = \dfrac{qxB_0}{2m}\), перпендикулярное радиусу.

    Далее частица движется по окружности радиуса \(R = \dfrac{\upsilon m}{qB_0} = \dfrac{x}{2}\) с периодом \(T = \dfrac{2\pi m}{qB_0}\). Угловая координата в момент выключения \(\alpha = 2\pi\tau/T = \dfrac{\tau qB_0}{m}\), а расстояние от оси \(x_1 = x\cos\dfrac{\alpha}{2}\).

    При выключении поля вихревое поле меняет скорость на \(\upsilon_1 = \dfrac{qx_1B_0}{2m} = \upsilon\cos\dfrac{\alpha}{2}\), причём составляющая \(\upsilon\), перпендикулярная \(CO\), в точности компенсируется \(\upsilon_1\). Значит, после выключения скорость направлена вдоль \(CO\), то есть через ось магнита, и равна \(u = \upsilon\sin\dfrac{\alpha}{2}\). Траектория — дуга окружности, переходящая в луч через ось, поэтому минимальное расстояние от оси равно нулю.

    Время до прохода через ось: \(\Delta t = \tau + \dfrac{x_1}{u} = \tau + \dfrac{2m}{qB_0}\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх