Переправа
5/10Лодка переплывает реку по прямой, перпендикулярной берегам. Её скорость относительно воды равна \(\upsilon_0\). До середины реки скорость течения изменяется по закону \(u = \alpha x\) от нуля до \(\upsilon_0/2\) — скорости воды на середине реки, где \(\alpha\) — известный коэффициент, \(x\) — расстояние от берега. После середины реки скорость уменьшается до нуля у другого берега по тому же закону.
Определите зависимость от времени угла между вектором скорости лодки относительно воды и направлением движения относительно берега. Через какое время лодка окажется на другом берегу?
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаТреугольник скоростей: поперечная составляющая скорости относительно воды равна \(\upsilon_0\cos\theta\), продольная компенсирует течение, \(\upsilon_0\sin\theta = u(x)\). Продифференцируйте по времени.
Ответ\(\theta(t) = \alpha t\) (до середины реки, а затем угол уменьшается симметрично); полное время в пути \(T = \dfrac{\pi}{3\alpha}\).
РешениеТреугольник скоростей даёт \(\upsilon_0\sin\theta = u = \alpha x\) и \(\dfrac{dx}{dt} = \upsilon_0\cos\theta\). Дифференцируя первое соотношение по времени, получаем \(\upsilon_0\cos\theta\,\dot\theta = \alpha\dfrac{dx}{dt} = \alpha\upsilon_0\cos\theta\), то есть \(\dot\theta = \alpha\): вектор относительной скорости поворачивается с постоянной угловой скоростью, \(\theta = \alpha t\).
На середине реки \(u = \upsilon_0/2\), поэтому \(\sin\theta = 1/2\), \(\theta = \pi/6\), и время до середины \(t_1 = \dfrac{\pi}{6\alpha}\). Вторая половина реки симметрична первой, поэтому полное время \(T = \dfrac{\pi}{3\alpha}\).
Похожие задачи
- Плот и катер ВсОШ 2009/10, 9 кл.
- Скорость течения реки Ведомственная 2010/11, 10 кл.
- Плот и лодка МОШ 2011/12, 7 кл.
- Рыбак Джон Санкт-Петербургская 2012/13, 7 кл.
- Рыбак Джон на реке Санкт-Петербургская 2012/13, 8 кл.
- Рыбак Максвелл 2013/14, 7 кл.