зад 1 Переправа
Лодка переплывает реку по прямой, перпендикулярной берегам. Её скорость относительно воды равна \(\upsilon_0\). До середины реки скорость течения изменяется по закону \(u = \alpha x\) от нуля до \(\upsilon_0/2\) — скорости воды на середине реки, где \(\alpha\) — известный коэффициент, \(x\) — расстояние от берега. После середины реки скорость уменьшается до нуля у другого берега по тому же закону.
Определите зависимость от времени угла между вектором скорости лодки относительно воды и направлением движения относительно берега. Через какое время лодка окажется на другом берегу?
▶ПодсказкаСкрыть
Треугольник скоростей: поперечная составляющая скорости относительно воды равна \(\upsilon_0\cos\theta\), продольная компенсирует течение, \(\upsilon_0\sin\theta = u(x)\). Продифференцируйте по времени.
▶ОтветСкрыть
\(\theta(t) = \alpha t\) (до середины реки, а затем угол уменьшается симметрично); полное время в пути \(T = \dfrac{\pi}{3\alpha}\).
▶РешениеСкрыть
Треугольник скоростей даёт \(\upsilon_0\sin\theta = u = \alpha x\) и \(\dfrac{dx}{dt} = \upsilon_0\cos\theta\). Дифференцируя первое соотношение по времени, получаем \(\upsilon_0\cos\theta\,\dot\theta = \alpha\dfrac{dx}{dt} = \alpha\upsilon_0\cos\theta\), то есть \(\dot\theta = \alpha\): вектор относительной скорости поворачивается с постоянной угловой скоростью, \(\theta = \alpha t\).
На середине реки \(u = \upsilon_0/2\), поэтому \(\sin\theta = 1/2\), \(\theta = \pi/6\), и время до середины \(t_1 = \dfrac{\pi}{6\alpha}\). Вторая половина реки симметрична первой, поэтому полное время \(T = \dfrac{\pi}{3\alpha}\).
зад 2 Доставка воды пневмопочтой
Где-то в космосе, вдали от звёзд, движется по инерции фабрика-звездолёт. В технологических процессах используется вода, которая доставляется к нужному месту порциями массой \(m = 288\) г по гладким трубам, площадь поперечного сечения которых постоянна и равна \(S = 50\) см\(^2\). Каждая порция содержится между двумя одинаковыми поршнями, масса каждого из которых тоже равна \(m\). Температура порции \(T\) при движении в установившемся режиме (колебания поршней относительно друг друга отсутствуют) остаётся неизменной. Движение поршней и порции воды по трубе обеспечивается давлением сжатого газа: «позади» них давление газа \(p_1\) всегда в \(1{,}5\) раза больше, а «перед» ними (\(p_2\)) — в два раза меньше, чем давление насыщенного водяного пара при температуре \(T\).
Какая часть массы воды в порции при движении в установившемся режиме находится в жидком состоянии? Каково в этом режиме расстояние между поршнями?
Плотность насыщенного водяного пара при температуре \(T\) составляет \(\varepsilon = 6\,\%\) от плотности жидкой воды, которая при этой температуре равна \(\rho \approx 0{,}72\) г/см\(^3\). В вычислениях для простоты можно считать воду несжимаемой, а водяной пар — почти идеальным газом. Ответ для расстояния между поршнями выразите в см с точностью до целого значения.
▶ПодсказкаСкрыть
Поршни и вода движутся с одинаковым равноускоренным движением. Уравнение движения каждого поршня даёт давление воды у него: у поршня 1 вода жидкая, у поршня 2 она парообразная, а на границе фаз давление равно давлению насыщенного пара.
▶ОтветСкрыть
Половина массы воды (50 %) находится в жидком состоянии; расстояние между поршнями \(L \approx 77\) см.
▶РешениеСкрыть
В установившемся режиме поршни и вода движутся равноускоренно. Из уравнения движения поршня 1 давление воды на него равно \(\tfrac{7}{6}p_H\) (вода у этого поршня жидкая); для поршня 2 давление воды у его поверхности равно \(\tfrac{5}{6}p_H\), и там вода находится в виде пара. На границе раздела фаз давление равно \(p_H\), поэтому жидкость занимает слой, который вдвое меньше полной массы: в жидком состоянии находится половина массы воды (толщина слоя жидкой воды около \(4\) см).
Толщину слоя пара находим из уравнения движения слоя пара с учётом его плотности по закону Менделеева–Клапейрона: \(H \approx 73\) см (по средней величине обратного давления). Расстояние между поршнями \(L = h + H \approx 77\) см (точная интегральная формула даёт \(76{,}9\) см).
зад 3 Полетели
В вакууме в невесомости между круглыми полюсами электромагнита на расстоянии \(x\) от оси магнита покоится частица массы \(m\) и заряда \(q\). Сначала магнитное поле равно нулю. Затем за малый промежуток времени индукция магнитного поля увеличивается до значения \(B_0\) и поддерживается постоянной в течение времени \(\tau < \pi m/(qB_0)\), после чего очень быстро уменьшается до нуля.
Почему частица приходит в движение? Опишите качественно траекторию частицы.
С какой скоростью движется частица после включения магнитного поля?
С какой скоростью движется частица после выключения магнитного поля?
На каком минимальном расстоянии от оси магнита проходит траектория частицы?
Через какое время от момента включения поля частица окажется на минимальном расстоянии от оси магнита?
▶ПодсказкаСкрыть
Изменение магнитного потока создаёт вихревое электрическое поле, перпендикулярное радиусу. Оно разгоняет частицу, а затем сила Лоренца закручивает её по окружности; после выключения поля вихревое поле меняет скорость ещё раз.
▶ОтветСкрыть
1) вихревое электрическое поле при изменении \(B\) разгоняет частицу; траектория — дуга окружности, переходящая в прямую, проходящую через ось магнита; 2) \(\upsilon = \dfrac{qxB_0}{2m}\); 3) \(u = \dfrac{qxB_0}{2m}\sin\dfrac{\alpha}{2}\), где \(\alpha = \dfrac{\tau qB_0}{m}\); 4) \(r_{\min} = 0\) (траектория проходит через ось); 5) \(\Delta t = \tau + \dfrac{2m}{qB_0}\,\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\).
▶РешениеСкрыть
Изменение магнитного потока через контур радиуса \(x\) порождает вихревое поле \(E_{\text{вихр}} = \dfrac{x}{2}\dfrac{dB}{dt}\). За время установления \(B_0\) скорость частицы получает приращение \(\upsilon = \dfrac{qxB_0}{2m}\), перпендикулярное радиусу.
Далее частица движется по окружности радиуса \(R = \dfrac{\upsilon m}{qB_0} = \dfrac{x}{2}\) с периодом \(T = \dfrac{2\pi m}{qB_0}\). Угловая координата в момент выключения \(\alpha = 2\pi\tau/T = \dfrac{\tau qB_0}{m}\), а расстояние от оси \(x_1 = x\cos\dfrac{\alpha}{2}\).
При выключении поля вихревое поле меняет скорость на \(\upsilon_1 = \dfrac{qx_1B_0}{2m} = \upsilon\cos\dfrac{\alpha}{2}\), причём составляющая \(\upsilon\), перпендикулярная \(CO\), в точности компенсируется \(\upsilon_1\). Значит, после выключения скорость направлена вдоль \(CO\), то есть через ось магнита, и равна \(u = \upsilon\sin\dfrac{\alpha}{2}\). Траектория — дуга окружности, переходящая в луч через ось, поэтому минимальное расстояние от оси равно нулю.
Время до прохода через ось: \(\Delta t = \tau + \dfrac{x_1}{u} = \tau + \dfrac{2m}{qB_0}\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\).
зад 4 Эффект Холла
Электроны являются носителями тока в металлах и полупроводниках \(n\)-типа. Если образец с током (прямоугольный кусочек плёнки полупроводника \(n\)-типа) помещён в магнитное поле и через него протекает ток, то на движущиеся электроны действует сила Лоренца \(F = e\upsilon B\), перпендикулярная скорости электрона и вектору магнитной индукции. Здесь \(\upsilon\) — средняя скорость дрейфа электронов, связанная с током \(I\) и пропорциональная напряжённости электрического поля \(E\) в направлении тока: \(\upsilon = \mu E\), где \(\mu\) — подвижность электронов. В установившемся режиме напряжённость поперечного поля \(E_x = \upsilon B\).
Источник с ЭДС \(\mathcal{E} = 10\) В и малым внутренним сопротивлением создаёт ток; \(B = 1{,}0\) Тл. Переменным резистором \(r\) меняют ток, вольтметром измеряют напряжение \(U_x\) между боковыми гранями. Размеры образца: толщина \(d = 1{,}0\) мкм, ширина \(b = 5{,}0\) мм, длина \(L = 1{,}0\) см, \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\) Кл.
Зависимость \(U_x\) от сопротивления \(r\) (кОм, В): \(r = 2{,}5\): \(U_x = 1{,}2\); \(2{,}0\): \(1{,}4\); \(1{,}5\): \(1{,}6\); \(1{,}0\): \(1{,}8\); \(0{,}5\): \(2{,}1\); \(0{,}0\): \(2{,}5\).
Выразите \(U_x\) через силу тока \(I\) в образце, концентрацию \(n\) электронов проводимости и величины \(\mathcal{E}\), \(B\), \(d\), \(b\), \(L\), \(e\).
Выразите сопротивление \(R\) и удельное сопротивление \(\rho\) образца через его размеры, подвижность \(\mu\) и концентрацию \(n\).
Используя п. 1 и 2, выразите \(U_x\) через \(n\), \(\mu\), \(r\) и величины из описания.
По графическому анализу данных определите: а) концентрацию \(n\); б) подвижность \(\mu\); в) удельное сопротивление \(\rho\). Опишите способ обработки.
▶ПодсказкаСкрыть
Закон Ома для всей цепи \(\mathcal{E} = I(r + R)\) и \(U_x = IB/(end)\) вместе дают зависимость \(U_x\) от \(r\), которую удобно привести к линейному виду относительно \(r\).
▶ОтветСкрыть
1) \(U_x = \dfrac{IB}{end}\); 2) \(R = \dfrac{L}{en\mu bd}\), \(\rho = \dfrac{1}{en\mu}\); 3) \(\dfrac{\mathcal{E}B}{U_x} = den\,r + \dfrac{L}{\mu b}\); 4) \(n \approx 1{,}1\cdot 10^{22}\) м\(^{-3}\), \(\mu \approx 0{,}49\) м\(^2\)/(В\(\cdot\)с), \(\rho \approx 1{,}2\cdot 10^{-3}\) Ом\(\cdot\)м.
▶РешениеСкрыть
1. Скорость дрейфа \(\upsilon = I/(bdne)\), поэтому \(U_x = B\upsilon b = \dfrac{IB}{end}\).
2. Из \(E = U/L\) и \(\upsilon = \mu U/L\) находим \(I = en\mu Ubd/L\), отсюда \(R = \dfrac{L}{en\mu bd}\) и \(\rho = \dfrac{1}{en\mu}\).
3. Закон Ома для цепи: \(\mathcal{E} = I(r + R)\). Подставляя \(I = IB/(U_x\cdot end)\) и \(R\) из п. 2, получаем \(\dfrac{\mathcal{E}B}{U_x} = den\,r + \dfrac{L}{\mu b}\): обратная величина \(U_x\) линейна по \(r\).
4. Строим график \(\mathcal{E}B/U_x\) от \(r\) по таблице (значения \(4{,}0\); \(4{,}8\); \(5{,}6\); \(6{,}3\); \(7{,}1\); \(8{,}3\) Тл при \(r = 0\); \(0{,}5\); \(\dots\); \(2{,}5\) кОм). Прямая имеет свободный член \(4{,}1\) Тл и угловой коэффициент \(1{,}7\cdot 10^{-3}\) Тл/Ом. Отсюда \(\mu = \dfrac{L}{b\cdot 4{,}1\,\text{Тл}} \approx 0{,}49\) м\(^2\)/(В\(\cdot\)с), \(n = \dfrac{\text{наклон}}{ed} \approx 1{,}1\cdot 10^{22}\) м\(^{-3}\), \(\rho = \dfrac{1}{en\mu}\approx 1{,}2\cdot 10^{-3}\) Ом\(\cdot\)м.
зад 5 Разгон при отключённом источнике
Две одинаковые проводящие оболочки в форме цилиндров с малыми отверстиями на общей оси образуют конденсатор ёмкостью \(C\). В центре левой оболочки удерживают шарик с зарядом \(q\). Суммарный заряд всей системы, включая заряд шарика, равен нулю. Конденсатор заряжают, подключив к источнику с напряжением \(U\), затем отключают от источника и отпускают шарик. Шарик начинает двигаться вдоль оси и, пролетев через отверстия, попадает внутрь правой оболочки. Какую кинетическую энергию будет иметь шарик в центре правой оболочки? При каком заряде шарика эта энергия максимальна и чему она равна? Выделением тепла из-за тока в оболочках можно пренебречь. Поле тяжести не учитывайте.
▶ПодсказкаСкрыть
Учтите экранирующий заряд \(-q\) на внутренней поверхности левой оболочки и то, что при перемещении шарика напряжение на конденсаторе меняется. Запишите закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть
\(K = qU - \dfrac{q^2}{2C}\); максимум при \(q = CU\), где \(K_{\max} = \dfrac{CU^2}{2}\).
▶РешениеСкрыть
Вначале на внутренней поверхности левой оболочки есть экранирующий заряд \(-q\). После подключения источника заряды внешних поверхностей равны \(\pm CU\). Когда шарик оказывается в центре правой оболочки, заряды внешних поверхностей становятся \(\pm Q\), где \(Q = CU - q\), а напряжение на конденсаторе \(V = U - q/C\).
Энергия взаимодействия шарика с экранирующими зарядами не меняется, поэтому из сохранения энергии \(\dfrac{CU^2}{2} = \dfrac{CV^2}{2} + K\) получаем \[K = qU - \frac{q^2}{2C}.\] Максимум \(K\) достигается при \(V = 0\), то есть \(q = CU\), и тогда \(K_{\max} = \dfrac{CU^2}{2}\).
зад 6 Нелинейная цепь
Электрическая цепь состоит из идеального источника с ЭДС \(\mathcal{E} = 20\) В, резистора сопротивлением \(R = 5\) Ом, катушки индуктивностью \(L = 20\) мГн с нулевым сопротивлением и нелинейного элемента, вольтамперная характеристика которого представлена на рисунке (\(I_0 = 3\) А). Изначально ключ разомкнут, тока в цепи нет. Какое количество теплоты выделится на резисторе через большой промежуток времени после замыкания ключа?
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала нелинейный элемент ведёт себя как резистор \(R\), затем переходит в режим постоянного тока \(I_0\). Тепло на резисторе пропорционально площади под графиком \(U_R(q)\).
▶ОтветСкрыть
\(Q \approx 0{,}07\) Дж.
▶РешениеСкрыть
Тепло на резисторе \(dQ = U_R\,dq\), где \(dq\) — заряд, прошедший через резистор. Пока нелинейный элемент ведёт себя как резистор \(R\), из правил Кирхгофа получаем \(U_R = \tfrac{1}{2}\left(\mathcal{E} - \dfrac{R^2}{L}q\right)\), где учтено, что \(L\,dI_L = R\,dq\). Режим постоянного сопротивления заканчивается, когда ток через нелинейный элемент достигает \(I_0\); до этого момента на резисторе выделяется \(Q_1 \approx 0{,}06\) Дж (площадь под линейным графиком \(U_R(q)\)).
Затем нелинейный элемент работает в режиме постоянного тока \(I_0\): напряжение на резисторе напряжение \(U_R\) убывает линейно от \(RI_0\) до нуля, и выделяется \(Q_2 \approx 0{,}01\) Дж. Суммарно \(Q = Q_1 + Q_2 \approx 0{,}07\) Дж.
зад 7 Вспышка в кубе
В кубе из вещества с показателем преломления \(n = \sqrt{2}\) точечный источник испустил кратковременную вспышку, свет от которой расходится однородно во всех направлениях. Свет веществом куба не поглощается. Какие значения может принимать доля \(\eta\) энергии вспышки, вышедшей наружу, в зависимости от положения источника внутри куба? Укажите, при каких положениях источника эта доля минимальна, при каких максимальна и чему она равна?
При падении света на границу раздела часть его энергии, зависящая от угла падения, отражается, а часть проходит через границу раздела.
Примечание: площадь сферического сегмента \(S = 2\pi Rh\), где \(R\) — радиус сферы, \(h\) — высота сегмента.
▶ПодсказкаСкрыть
Проекции скорости луча на оси, перпендикулярные граням, при отражении меняют знак. Найдите углы, при которых возможен выход света через грани.
▶ОтветСкрыть
\(\eta = 40\,\%\) при любом положении источника; минимальная и максимальная доли совпадают.
▶РешениеСкрыть
Полное внутреннее отражение происходит при углах падения больше \(45^\circ\) (там \(\sin\theta_0 = 1/n\)). Если проекция скорости луча на нормаль к паре граней удовлетворяет условию \(c_x/c > \sqrt{3}/2\) (угол с нормалью меньше \(30^\circ\)), то свет частично отражается и в итоге выходит через грани, перпендикулярные этой оси; при этом лучи от параллельных граней выходят полностью. Остальной свет испытывает только полное отражение и куб не покидает.
Выходящий свет заполняет шесть конусов с осями, перпендикулярными граням, и углом раствора \(60^\circ\) (полуугол \(30^\circ\)). Телесный угол одного конуса по формуле сегмента \(S = 2\pi Rh\) равен \(\Omega = 2\pi(1 - \cos 30^\circ) \approx 0{,}84\) ср. Для шести конусов доля \[\eta = \frac{6\,\Omega}{4\pi} \approx 0{,}40 = 40\,\%,\] одинаковая для любого положения источника внутри куба.
зад 8 Определение удельной теплоты испарения жидкого азота
Цель эксперимента — определение удельной теплоты испарения жидкого азота при атмосферном давлении. Масса алюминиевого цилиндра \(m_{\text{Al}} = 69\) г, начальная масса контейнера с азотом \(M = 250\) г, температура помещения \(23^\circ\)C. Температура кипения азота — минус \(196^\circ\)C.
Жидкий азот, налитый в пенопластовый контейнер, из-за теплообмена с окружающей средой испаряется. При погружении в азот алюминиевого цилиндра, имевшего температуру помещения, азот начинает активно кипеть. Масса \(M\) контейнера с азотом фиксируется весами. Показания весов (мин:с; г) приведены в таблице:
Удельная теплоёмкость алюминия зависит от температуры (график):
▶ПодсказкаСкрыть
Масса азота, испарившаяся из-за теплообмена с цилиндром, отличается от наблюдаемой убыли массы на величину, которую дают участки графика вне бурного кипения. Теплоту, отданную цилиндром, найдите по площади под графиком \(c(T)\).
▶ОтветСкрыть
\(\lambda \approx 223\) кДж/кг (по критериям допустимо \(200\)–\(245\) кДж/кг).
▶РешениеСкрыть
Используя график зависимости массы от времени (с учётом скачка \(69\) г при погружении цилиндра), выделим участок «бурного кипения» между моментами \(t_1 \approx 320\) с и \(t_2 \approx 440\) с. Скорость испарения азота из-за теплообмена с окружающей средой до погружения и после \(\approx 0{,}099\) г/с и \(\approx 0{,}094\) г/с; берём среднюю величину. Масса азота, испарившаяся из-за теплообмена с цилиндром, \(m_N \approx 48\) г.
Теплота, которую отдал цилиндр при охлаждении от \(23^\circ\)C до \(-196^\circ\)C, с учётом зависимости \(c(T)\) по площади под графиком: \(Q = m_{\text{Al}}\int c\,dT \approx 69\cdot 155 \approx 10{,}7\) кДж.
Из теплового баланса \(\lambda = \dfrac{Q}{m_N} = \dfrac{10{,}7~\text{кДж}}{0{,}048~\text{кг}}\approx 223\) кДж/кг.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2020/21, региональный этап, 11 класс, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.