Движение по реке, переправы, ветер

Гольфстрим (от англ. gulf stream – течение из залива) – теплое течение в Атлантическом океане. Гольфстрим переносит около 100 млн тонн теплой воды в секунду. Его скорость поразительно велика – от 90 до 250 см/с. Это означает, что Гольфстрим может весьма значительно повлиять на продолжительность путешествия по океану в зависимости от того, в каком направлении движется судно. Определите, во сколько раз отличается скорость относительно берега у трансатлантического лайнера, плывущего сначала по направлению течения Гольфстрим (с юго-запада на северо-восток), а потом против этого течения, если скорость лайнера относительно воды 27 км/ч. Скорость течения примите равной 250 см/с.

Максим и Аня стоят на противоположных берегах реки, ширина которой равна 60 м. Аня начинает идти вдоль берега вниз по течению со скоростью равной скорости течения реки 1 м/с. Максим начинает плыть через реку на противоположный берег вдоль прямой линии с постоянной скоростью. Как только Максим добирается до противоположного берега, он оказывается рядом с Аней, которая прошла расстояние 120 м. Аня в процессе движения не останавливалась.

1. Найдите время движения Ани. Ответ выразите в минутах, округлите до целого числа.

2. Чему равно расстояние между Аней и Максимом в тот момент, когда Аня прошла 60 м? Ответ выразите в м, округлите до целого числа.

3. С какой скоростью плыл бы Максим в стоячей воде? Ответ выразите в м/с, округлите до десятых.

По реке, стартовав в одном пункте, по течению плывут плот и лодка. Лодка доплывает до пристани и, возвращаясь, встречает плот. Пристань находится на 6 км ниже по течению от места старта лодки и плота. Скорость лодки в стоячей воде в 2 раза больше скорости движения плота по реке. На каком расстоянии от пристани встретятся плот и лодка? Ответ дайте в километрах.

Моторная лодка плывёт из пункта \(A\) вверх по течению в пункт \(B\), который находится от пункта \(A\) на расстоянии \(s = 10\) км, за время \(t_1 = 4\) ч. При возвращении в пункт \(A\) через \(t = 24\) мин (с момента старта из пункта \(B\)) у лодки заканчивается топливо, и дальше лодку сносит течением. На обратный путь лодка суммарно затратила время \(t_2 = 2\) ч. На каком расстоянии от пункта \(A\) была лодка, когда у неё закончилось топливо?

Судно движется по каналу с проточной водой с относительной скоростью 10 км/ч. Длина канала 10 км. В первой половине канала течение воды 5 км/ч. Вторая половина канала вдвое уже первой, глубина при этом везде одинаковая. Найдите время, в течение которого судно проплывёт канал от начала до конца. Ответ выразите в минутах, округлите до целого числа.

Друг за другом по течению реки расположены три пристани: \(A\), \(B\) и \(C\). Катер стартует от пристани \(A\), движется до \(C\), очень быстро разворачивается и доходит до пристани \(B\), как показано на рисунке слева. Путь занимает 45 минут. Затем катер возвращается обратно в \(A\) подобным образом: сначала движется от \(B\) до \(C\), разворачивается и доходит до \(A\) (см. рисунок, справа), затрачивая на 10 минут больше времени, чем в первом случае. Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей воде равны: 1 м/с и 5 м/с. Перемещения поперёк реки занимают пренебрежимо малое время. Дайте ответы на следующие вопросы, выразите их в км, округлив до десятых.

1. Чему равно расстояние между пристанями \(A\) и \(C\)?

2. Найдите расстояние между \(B\) и \(C\).

Друг за другом по течению реки расположены три пристани: \(A\), \(B\) и \(C\). Катер стартует от пристани \(A\), движется до \(C\), очень быстро разворачивается и доходит до пристани \(B\), как показано на рисунке слева. Путь занимает 45 минут. Затем катер возвращается обратно в \(A\) подобным образом: сначала движется от \(B\) до \(C\), разворачивается и доходит до \(A\) (см. рисунок, справа), затрачивая на 10 минут больше времени, чем в первом случае. Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей воде равны: 1 м/с и 5 м/с. Перемещения поперёк реки занимают пренебрежимо малое время. Дайте ответы на следующие вопросы, выразите их в км, округлив до десятых.

1. Чему равно расстояние между пристанями \(A\) и \(C\)?

2. Найдите расстояние между \(B\) и \(C\).

Две лодки одновременно стартуют из одной точки на берегу реки в противоположных направлениях: одна плывёт по течению, а другая — против течения. Скорости лодок в стоячей воде одинаковы и равны 5 м/с, а скорость течения реки равна 2 м/с. Каждая из лодок в какой-то момент разворачивается и плывёт обратно. Известно, что в точку старта лодки прибывают одновременно через 30 минут после начала движения. Чему равно максимальное расстояние, на которое лодки удаляются друг от друга в процессе движения? Считайте, что траектории лодок лежат на одной прямой, размерами лодок можно пренебречь. Ответ выразите в метрах, округлите до целого числа.

Лодка отплыла от берега реки, текущей со скоростью, постоянной по всей ширине реки. В системе отсчета, связанной с водой, лодка все время двигалась перпендикулярно берегу, причем движение было равнозамедленным, с начальной скоростью 2 м/c. На рисунке изображен вид сверху на траекторию лодки в системе отсчета, связанной с берегом реки. Ось \(x\) направлена вдоль берега реки, ось \(y\) "— перпендикулярно берегу. Определите скорость течения реки и модуль ускорения лодки.

На берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга расположены деревни Липовка и Демушкино. В 12.00 от Липовки к Демушкино стартовали плот и катер. Доплыв до Демушкино, катер развернулся и повернул обратно, встретившись с плотом в 14.00. Плот при этом проплыл 4 км. Постройте графики движения (зависимость расстояния до Липовки от времени) для плота и катера. В какой момент времени катер прибыл в Демушкино? Найдите скорость течения реки и скорость катера в стоячей воде, считая эти скорости постоянными.

Школьник Вася, находящийся в точке A, собирается переплыть на противоположный берег реки и оказаться как можно ближе к точке B, расположенной точно напротив точки A. Ширина реки равна \(L\), скорость течения реки равна \(u\), скорость Васи в стоячей воде равна \(v\). Определите, на каком минимальном расстоянии от точки B может оказаться Вася после переправы. Объясните Ваш ответ. Изобразите на рисунке векторы скорости течения реки, скорости Васи в стоячей воде и скорости Васи относительно берега при оптимальном способе переправы. Решите задачу в общем случае и в частных случаях (а) \(u = 0{,}8\) м/с, \(v = 1\) м/с, \(L = 100\) м; (б) \(u = 1\) м/с, \(v = 0{,}8\) м/с, \(L = 100\) м.

Горизонтальный канал соединяет две судоходные реки А и Б. Иногда в нем возникает слабое течение, которое может быть направлено либо в одну, либо в другую сторону. От одной реки к другой по каналу курсирует катер, скорость которого относительно воды постоянна. Капитан катера заметил, что за много лет ему никогда не удавалось совершить рейс туда и обратно быстрее, чем за \(t_1 = 2\) часа, а самый неудачный рейс длился \(t_2 = 3\) часа (время разворота катера и остановок не учитывается). Однажды мотор катера сломался, но из-за стечения обстоятельств рейс от А к Б и обратно все-таки был выполнен. Какое минимальное время для этого могло понадобиться катеру?

После ремонта катер стал развивать в два раза большую скорость относительно воды. Как долго теперь может длиться рейс туда и обратно?

Петя прогулялся по речному берегу от деревни Петрово до деревни Васино и, нигде не задерживаясь, вернулся назад. Его скорость во время прогулки была почти постоянной и равной скорости течения реки. Одновременно с Петей тем же самым маршрутом на лодке отправился Вася. До Васино он добрался втрое быстрее Пети и тоже, не задерживаясь, вернулся на лодке в Петрово. Сколько времени плавал на лодке Вася, если прогулка Пети длилась 120 минут? Через какое время после старта мальчики встретились? Определите, в какие моменты времени после старта расстояние между мальчиками было максимальным. Скорость лодки относительно воды можно считать постоянной.

С какой минимальной по величине скоростью относительно воды должен двигаться пловец, пересекая реку шириной 100 м, чтобы его «снос» составил величину 25 м? Скорость течения реки постоянна и равна 2 м/c. Под «сносом» понимается расстояние между точкой, где пловец достиг противоположного берега, и точкой, расположенной строго напротив точки отплытия. Ответ выразите в м/с и округлите до сотых.

В 10:00 от пристани A вниз по течению реки к пристани В отправляются катер и моторная лодка. Скорости относительно воды катера и лодки равны 45 км/ч и 30 км/ч соответственно. На половине пути водитель катера заглушил мотор и 50 мин дрейфовал вниз по течению, не причаливая к берегу. После этого он завёл мотор и продолжил движение с прежней скоростью в направлении пристани B. В результате к этой пристани катер и лодка прибыли одновременно.

1. Найдите максимальное расстояние между катером и лодкой во время движения, если скорость течения равна 5 км/ч. Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

2. В какое время катер и лодка подплыли к пристани В?

Ровно в полдень от пристани \(A\) к пристани \(B\) вниз по течению реки отправились катер и моторная лодка. Скорости катера и лодки относительно воды равны \(v_1 = 40\) км/ч и \(v_2 = 25\) км/ч соответственно. Скорость течения реки \(u = 5\) км/ч. Когда катер прошёл треть всего пути, на реку опустился густой туман, вследствие чего капитан катера решил не рисковать и заглушил мотор. Катер продолжил свой путь, дрейфуя по течению и не причаливая к берегу. Дрейф в тумане продолжался 30 минут, пока туман не рассеялся. После этого катер, не изменяя направление движения, продолжил свой путь с первоначальной скоростью относительно воды. Всё это время моторист продолжал вести лодку на свой страх и риск, не сбавляя скорости. К пристани \(B\) катер и лодка причалили одновременно.

1. В какое время катер и лодка подплыли к пристани \(B\)?

2. Какое максимальное расстояние (по реке) было между катером и лодкой в процессе движения?

Пристань \(B\) расположена ниже пристани \(A\) по течению реки. Между \(A\) и \(B\) курсируют лодка и катер. Лодка стартует из \(A\) одновременно с катером, стартующим из \(B\). Когда лодка подходит к пристани \(B\), она разворачивается, затрачивая на разворот пренебрежимо малое время, и идёт обратно, затем доходит до пристани \(A\), разворачивается, и так далее. Катер движется аналогичным образом.

Первая встреча катера и лодки произошла через 1 час после начала движения. Когда катер после первой встречи подошёл к пристани \(A\), лодка прошла \(3/5\) расстояния между \(A\) и \(B\). Вторая встреча катера и лодки произошла у пристани \(B\), куда они прибыли одновременно.

1. Через какое время после начала движения катер подошёл к пристани \(A\)?

2. Определите, через какое время после первой встречи произошла вторая встреча?

3. Через какое время после второй встречи произойдёт третья встреча?

Из пункта \(A\), расположенного на одном берегу реки шириной \(l\), переправляется на противоположный берег небольшая моторная лодка. Берега реки параллельны друг другу. Скорость течения реки везде одинакова и равна \(u\). На противоположном берегу реки на одном перпендикуляре к берегам с пунктом \(A\) расположен пункт \(B\). Скорость лодки относительно воды постоянна по величине и равна \(2u\), а её вектор в течение всего времени переправы перпендикулярен прямой \(BC\), где \(C\) — центр лодки. В некоторый момент времени \(t_1\) скорость лодки относительно берега перпендикулярна линии берега.

1. В каком направлении лодка начала движение из пункта \(A\): по течению или против течения? Ответ обоснуйте.

2. Найдите угол \(\angle ABC\) в момент времени \(t_1\).

3. На каком расстоянии от пункта \(B\) будет находиться лодка, когда она достигнет противоположного берега реки?

4. На каком расстоянии от пункта \(B\) будет находиться лодка в момент времени \(t_1\)?

5. Найдите радиус кривизны траектории лодки в системе отсчёта берега для двух случаев: а) в момент старта из пункта \(A\); б) в момент времени \(t_1\).

Внимание! При вычислениях следует использовать приближённые равенства: \(\sqrt5\approx2{,}2\), \(\sqrt3\approx1{,}7\), \(\sqrt2\approx1{,}4\). Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным \(10\text{ м/с}^2\).

По реке, скорость течения которой равна \(0{,}5\) м/с, движется баржа. Скорость баржи в стоячей воде равна \(2{,}5\) м/с. Баржа движется против течения. По палубе от борта к борту ходит матрос. Его скорость относительно баржи равна \(1{,}0\) м/с и в любой момент времени направлена перпендикулярно скорости баржи. Ширина палубы составляет 10 м. Матрос начинает движение от одного из бортов. Временем разворота матроса можно пренебречь.

1. (1 балл) Найдите скорость матроса относительно берега. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

2. (0,5 балла) Определите модуль перемещения матроса относительно баржи за минуту с начала движения. Ответ дайте в метрах, округлите до целого.

3. (0,5 балла) Чему равен модуль перемещения матроса относительно берега за то же время? Ответ дайте в метрах, округлите до целого.

4. (1 балл) Чему равен путь, пройденный матросом относительно берега за минуту с начала движения? Ответ дайте в метрах, округлите до целого.

Пункты \(A\) и \(B\) находятся на противоположных берегах реки шириной \(L = 50\) м. Берега реки параллельны друг другу, а прямая \(AB\) им перпендикулярна. Пловец хочет вплавь попасть из пункта \(A\) в пункт \(B\), но, определив скорость течения, понимает, что это невозможно. Тогда он решает отбежать от пункта \(A\) вдоль берега до точки \(C\), а потом уже вплавь добраться до пункта \(B\). На какое расстояние от пункта \(A\) он должен отбежать, чтобы попасть в пункт \(B\) за минимальное время? Чему равно это время? Скорость течения реки \(u = 3\) м/с, скорость, с которой пловец бежит по берегу, \(v = 7\) м/с, скорость, с которой он плывет относительно воды, \(v_{\text{отн}} = 1\) м/с. Считайте, что скорость течения одинакова по всему поперечному сечению реки.

Лодку массой \(m\) отправили на другой берег речки, сообщив ей начальную скорость \(V_0\) в направлении, перпендикулярном течению. Ширина речки \(H\), скорость её течения \(V_{\text{т}}\), а время движения лодки от берега до берега \(t\).

1. На какое расстояние \(l\) (вдоль берега) снесло лодку течением при переправе?

2. Чему был равен модуль скорости лодки относительно воды в конце переправы, если сила \(\vec F\) сопротивления движению, действующая на лодку со стороны воды, пропорциональна скорости \(\vec V_{\text{отн}}\) лодки относительно воды (\(\vec F = -k\vec V_{\text{отн}}\), где \(k\) — известный постоянный коэффициент)?

Считайте, что скорость течения одинакова во всех точках речки.