Задачи › Сложный конденсатор, системы проводников

Разгон при отключённом источнике

  1. Разгон при отключённом источнике

    ВсОШ 2020/21, 11 кл.
    6/10

    Две одинаковые проводящие оболочки в форме цилиндров с малыми отверстиями на общей оси образуют конденсатор ёмкостью \(C\). В центре левой оболочки удерживают шарик с зарядом \(q\). Суммарный заряд всей системы, включая заряд шарика, равен нулю. Конденсатор заряжают, подключив к источнику с напряжением \(U\), затем отключают от источника и отпускают шарик. Шарик начинает двигаться вдоль оси и, пролетев через отверстия, попадает внутрь правой оболочки. Какую кинетическую энергию будет иметь шарик в центре правой оболочки? При каком заряде шарика эта энергия максимальна и чему она равна? Выделением тепла из-за тока в оболочках можно пренебречь. Поле тяжести не учитывайте.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Учтите экранирующий заряд \(-q\) на внутренней поверхности левой оболочки и то, что при перемещении шарика напряжение на конденсаторе меняется. Запишите закон сохранения энергии.

    Ответ

    \(K = qU - \dfrac{q^2}{2C}\); максимум при \(q = CU\), где \(K_{\max} = \dfrac{CU^2}{2}\).

    Решение

    Вначале на внутренней поверхности левой оболочки есть экранирующий заряд \(-q\). После подключения источника заряды внешних поверхностей равны \(\pm CU\). Когда шарик оказывается в центре правой оболочки, заряды внешних поверхностей становятся \(\pm Q\), где \(Q = CU - q\), а напряжение на конденсаторе \(V = U - q/C\).

    Энергия взаимодействия шарика с экранирующими зарядами не меняется, поэтому из сохранения энергии \(\dfrac{CU^2}{2} = \dfrac{CV^2}{2} + K\) получаем \[K = qU - \frac{q^2}{2C}.\] Максимум \(K\) достигается при \(V = 0\), то есть \(q = CU\), и тогда \(K_{\max} = \dfrac{CU^2}{2}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх