Куб из конденсаторов с зависящим от температуры диэлектриком

При \(0\,^\circ\)C все двенадцать конденсаторов одинаковы. Для обеих батарей выпишите ёмкость между противоположными вершинами, учитывая, что в нижней точке цепи все узлы одного слоя имеют одинаковый потенциал.

Пусть ёмкость воздушного конденсатора равна \(C_0\) (при \(\varepsilon = 1\)). При \(0\,^\circ\)C каждый конденсатор имеет ёмкость \(4C_0\). Батарея куба между противоположными вершинами \(A\) и \(B\) состоит из трёх последовательных слоёв: три конденсатора у вершины \(A\), шесть конденсаторов между слоями и три конденсатора у вершины \(B\). Для ёмкостей, как и для проводимостей, \[\frac{1}{C} = \frac{1}{3C_1} + \frac{1}{6C_2} + \frac{1}{3C_1} = \frac{2}{3C_1} + \frac{1}{6C_2},\] откуда \(C = \dfrac{6}{5}C_{\text{одн}}\) при одинаковых конденсаторах. Начальная батарея: \(C_{\text{бат}} = \dfrac{6}{5}\cdot 4C_0 = 4{,}8\,C_0\).

После изменения температуры: у шести конденсаторов, примыкающих к \(A\) и \(B\), \(\varepsilon_1 = 4 - 0{,}1\cdot 10 = 3\), т.е. \(C_1 = 3C_0\); у остальных шести \(\varepsilon_2 = 4 + 0{,}1\cdot 20 = 6\), т.е. \(C_2 = 6C_0\). Тогда \[\frac{1}{C'_{\text{бат}}} = \frac{2}{9C_0} + \frac{1}{36C_0} = \frac{1}{4C_0}, \qquad C'_{\text{бат}} = 4C_0.\]

Искомое отношение ёмкости батареи после изменения температур к ёмкости при \(0\,^\circ\)C: \(\dfrac{C'_{\text{бат}}}{C_{\text{бат}}} = \dfrac{4C_0}{4{,}8C_0} = \dfrac{5}{6}\approx 0{,}83\).