Конденсатор из трёх пластин

Напряжение батареи не меняется. Выразите его через напряжённости полей в двух областях между пластинами, учитывая заряд средней пластины.

Обозначим через \(d\) расстояние между средней и правой пластинами; тогда расстояние между левой и средней равно \(2d\). Пусть \(q_1\) — заряд конденсатора, когда средняя пластина не заряжена, \(\sigma_1 = q_1/S\) — поверхностная плотность заряда на левой пластине (\(S\) — площадь пластин), на правой пластине плотность равна \(-\sigma_1\). Напряжённость поля в конденсаторе \(E = \sigma_1/\epsilon_0\), а напряжение равно ЭДС батареи \(\varepsilon\): \[\varepsilon = 3dE = \frac{3d\sigma_1}{\epsilon_0}.\]

Пусть теперь средняя пластина несёт заряд \(q_0\), \(\sigma_0 = q_0/S\). Плотность заряда на левой пластине \(\sigma_1 + \Delta\sigma\), на правой \(-(\sigma_1 + \Delta\sigma)\). Проекции напряжённости на ось \(x\) в области 1 (между левой и средней пластинами) и в области 2 (между средней и правой): \[E_{1x} = \frac{\sigma_1 + \Delta\sigma}{\epsilon_0} - \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}, \qquad E_{2x} = \frac{\sigma_1 + \Delta\sigma}{\epsilon_0} + \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}.\] Для напряжения \[\varepsilon = 2dE_{1x} + dE_{2x} = \frac{3d\sigma_1}{\epsilon_0} + \frac{d}{\epsilon_0}\left(3\Delta\sigma - \frac{\sigma_0}{2}\right).\] Используя \(\varepsilon = 3d\sigma_1/\epsilon_0\), получаем \(3\Delta\sigma - \dfrac{\sigma_0}{2} = 0\), т.е. \(\Delta\sigma = \dfrac{\sigma_0}{6}\). Изменение заряда конденсатора \[\Delta q = S\Delta\sigma = \frac{S\sigma_0}{6} = \frac{q_0}{6} = 0{,}3~\text{нКл}.\]