Гелий и поршень с пружиной

Запишите баланс энергии газа и пружины и условие равновесия поршня в конечном состоянии; уравнение состояния связывает давление, объём и температуру.

Пусть \(a\) — начальная длина левой части цилиндра, \(x\) — сжатие пружины, \(k\) — жёсткость пружины, \(S\) — площадь поперечного сечения поршня, \(\nu\) — число молей газа, \(P_1\) и \(P_2\) — начальное и конечное давления, \(R\) — универсальная газовая постоянная. Начальный и конечный объёмы газа: \(V_1 = Sa\), \(V_2 = S(a+x)\).

Баланс энергии для системы «газ + поршень»: \[\frac{3}{2}\nu R T_1 = \frac{3}{2}\nu R T_2 + \frac{kx^2}{2}.\] В конечном состоянии поршень находится в равновесии, \(P_2S = kx\), и выполнено уравнение состояния \(P_2S(a+x) = \nu R T_2\). Отсюда \(k = \dfrac{\nu R T_2}{x(a+x)}\). Подставляя \(k\) в баланс энергии и сокращая на \(\nu R/2\), получаем \[3T_1 = 3T_2 + \frac{T_2 x}{a+x}.\] Далее \(\dfrac{x}{a+x} = \dfrac{Sx}{S(a+x)} = \dfrac{V_2 - V_1}{V_2}\), поэтому \[T_1 = T_2\left(1 + \frac{V_2 - V_1}{3V_2}\right) = T_2\,\frac{4V_2 - V_1}{3V_2},\] откуда \(T_2 = T_1\dfrac{3V_2}{4V_2-V_1} = 270\) К.