Отрыв бруска от подвижной полусферы

Горизонтальная составляющая импульса системы сохраняется. В момент отрыва сила реакции обращается в нуль, поэтому брусок движется как свободное тело — что это даёт для его радиального ускорения?

Рассмотрим движение бруска и полусферы в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Ось \(x\) направим вдоль стола, ось \(y\) — вертикально вверх. Так как между полусферой и столом нет трения, горизонтальная составляющая полного импульса сохраняется: \(-Mu + mV_x = 0\). Здесь \(\vec u\) и \(\vec V\) — скорости полусферы и бруска относительно стола. По закону сложения скоростей \(\vec V = \vec u + \vec V_0\), где \(\vec V_0\) — скорость бруска относительно полусферы, направленная по касательной к окружности, по которой движется брусок. Получаем \(V_x = -u + V_0\cos\alpha\) и \[u = \frac{mV_0\cos\alpha}{M+m}.\]

Запишем второй закон Ньютона для бруска: \(m\vec a = \vec N + m\vec g\), где \(\vec a\) — ускорение бруска относительно стола, \(\vec N\) — сила нормальной реакции полусферы. По закону сложения ускорений \(\vec a = \vec w + \vec a_0\), где \(\vec w\) — ускорение полусферы, \(\vec a_0\) — ускорение бруска относительно полусферы. Вектор \(\vec w\) сонаправлен вектору \(\vec u\) и определяется горизонтальной составляющей силы давления бруска на полусферу: \(Mw = N\sin\alpha\).

В момент отрыва \(N = 0\), \(w = 0\), \(\vec a = \vec a_0\), \(m\vec a_0 = m\vec g\), т.е. \(\vec a_0 = \vec g\). Составляющая \(\vec a_0\), направленная вдоль радиуса полусферы, — центростремительное ускорение бруска: \(g\cos\alpha = V_0^2/R\), откуда \(V_0^2 = gR\cos\alpha\).

Закон сохранения энергии: \(mgR = mgR\cos\alpha + \dfrac{Mu^2}{2} + \dfrac{mV^2}{2}\). Квадрат скорости бруска относительно стола с учётом \(V_y = -V_0\sin\alpha\): \[V^2 = u^2 - 2uV_0\cos\alpha + V_0^2,\] и энергия принимает вид \(2mgR(1-\cos\alpha) = (M+m)u^2 - 2muV_0\cos\alpha + mV_0^2\). Подставляя \(u\) и \(V_0^2 = gR\cos\alpha\), получаем \[\frac{m\cos^3\alpha}{M+m} = 3\cos\alpha - 2 \quad\Rightarrow\quad x + 1 = \frac{M+m}{m} = \frac{\cos^3\alpha}{3\cos\alpha - 2}.\] Отсюда \(x = \dfrac{\cos^3\alpha}{3\cos\alpha-2} - 1 = 29\).