Нить наматывается на столб

Сила натяжения перпендикулярна скорости шайбы, поэтому модуль скорости не меняется. В каждый момент шайба движется по дуге окружности с центром в точке касания нити со столбом; длина свободного участка нити уменьшается.

Пусть в момент времени \(t\) нить касается столба в точке \(B\), а нить повернулась на угол \(\alpha\); угол между радиусами \(OA\) и \(OB\) также равен \(\alpha\). Длина участка нити от точки \(B\) до шайбы равна \(L = L_0 - \alpha R\). Без трения на шайбу в горизонтальной плоскости действует только сила натяжения \(\vec T\), перпендикулярная скорости, поэтому модуль скорости шайбы \(V_0\) не меняется. Так как скорость точки \(B\) равна нулю, в данный момент шайба вращается по окружности радиуса \(L\) с центром в точке \(B\), и по второму закону Ньютона \[\frac{mV_0^2}{L_0 - \alpha R} = T \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{1}{R}\left(L_0 - \frac{mV_0^2}{T}\right).\]

При \(T = T_0\) получаем угол \(\alpha_0 = \dfrac{1}{R}\left(L_0 - \dfrac{mV_0^2}{T_0}\right)\) и число оборотов \[N = \frac{\alpha_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi R}\left(L_0 - \frac{mV_0^2}{T_0}\right) = 1{,}6.\]

Для нахождения времени \(\tau\) разобьём промежуток \([0, \tau]\) на малые интервалы с номером \(k\). За время от \(t_k\) до \(t_k + \Delta t_k\) угол поворота нити увеличивается от \(\alpha_k\) до \(\alpha_k + \Delta\alpha_k\), а шайба проходит путь \(V_0\Delta t_k\), который можно записать как \(L_k\Delta\alpha_k\), где \(L_k = L_0 - \alpha_k R\): \[V_0\Delta t_k = (L_0 - \alpha_k R)\,\Delta\alpha_k.\] Суммируя по всем интервалам, \[V_0\sum_k\Delta t_k = L_0\sum_k\Delta\alpha_k - R\sum_k\alpha_k\Delta\alpha_k,\] где \(\sum_k\Delta t_k = \tau\), \(\sum_k\Delta\alpha_k = \alpha_0\), \(\sum_k\alpha_k\Delta\alpha_k = \dfrac{\alpha_0^2}{2}\) (площадь под графиком \(y(\alpha)=\alpha\) от нуля до \(\alpha_0\)). Окончательно \[V_0\tau = L_0\alpha_0 - \frac{R\alpha_0^2}{2} = \frac{1}{2R}\left[L_0^2 - \left(\frac{mV_0^2}{T_0}\right)^2\right], \qquad \tau = \frac{1}{2V_0R}\left[L_0^2 - \left(\frac{mV_0^2}{T_0}\right)^2\right] = 15~\text{с}.\]