Коварный конденсатор

Подсказка

Найдите среднюю за период силу притяжения пластин и приравняйте работу внешних сил при их раздвижении изменению энергии колебаний; получится величина, не меняющаяся при медленном раздвижении (адиабатический инвариант).

Ответ

Энергия колебаний увеличилась в \(n\) раз, то есть прямо пропорционально частоте колебаний.

Решение

Пусть \(S\) — площадь пластин конденсатора, \(q\) — заряд конденсатора, тогда напряжённость \(E\) электрического поля, создаваемого одной пластиной, и сила \(F\) взаимодействия пластин могут быть записаны в виде \[E = \dfrac{q}{2\varepsilon_0S}\qquad\text{и}\qquad F = qE = \dfrac{q^2}{2\varepsilon_0S}. \tag{1}\] Поскольку пластины раздвигали медленно, можно считать, что в течение одного периода колебаний \(T\) амплитуда колебаний заряда \(Q\), циклическая частота \(\omega\) и начальная фаза \(\varphi\) неизменны, а зависимость заряда конденсатора от времени задаётся формулой \(q = Q\sin(\omega t + \varphi)\).

Вычислим среднюю за один период силу взаимодействия пластин: \[F_{\text{ср}} = \dfrac{\langle q^2\rangle}{2\varepsilon_0S} = \dfrac{1}{2\varepsilon_0S}\cdot\dfrac{1}{T}\int\limits_0^T q^2\,dt = \dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0ST}\int\limits_0^T\sin^2(\omega t + \varphi)\,dt =\] \[= \dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0ST}\cdot\left.\left(\dfrac{t}{2} - \dfrac{\sin(2(\omega t + \varphi))}{4\omega}\right)\right|_0^T = \dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0ST}\cdot\dfrac{T}{2} = \dfrac{Q^2}{4\varepsilon_0S}.\] Примечание. Тот же результат можно было получить с помощью подстановки действующего значения заряда \(q = Q/\sqrt{2}\) в формулу (1). Предлагаем читателям самостоятельно обосновать справедливость такой подстановки.

Пусть \(x\) — расстояние между пластинами, тогда элементарная работа внешних сил при раздвижении пластин на \(dx\) имеет вид \[dA = F_{\text{ср}}\,dx = \dfrac{Q^2\,dx}{4\varepsilon_0S}.\] Используя формулу \(C = \varepsilon_0S/x\) для ёмкости плоского конденсатора, выразим изменение энергии колебаний при том же раздвижении пластин: \[dW = d\left(\dfrac{Q^2}{2C}\right) = d\left(\dfrac{Q^2x}{2\varepsilon_0S}\right) = \dfrac{2Q\,dQ\cdot x + Q^2\cdot dx}{2\varepsilon_0S} = \dfrac{Q}{2\varepsilon_0S}(2x\,dQ + Q\,dx).\] Согласно закону изменения энергии \(dW = dA\) запишем уравнение \[\dfrac{Q}{2\varepsilon_0S}(2x\,dQ + Q\,dx) = \dfrac{Q^2\,dx}{4\varepsilon_0S},\] откуда после упрощения, интегрирования и потенцирования получим \[4\dfrac{dQ}{Q} + \dfrac{dx}{x} = 0,\qquad 4\ln Q + \ln x = \text{const},\qquad Q^4x = \text{const}.\] Примечание. Величина \(Q^4x\) является адиабатическим инвариантом, то есть не изменяется при медленных изменениях других параметров системы. Адиабатические инварианты встречаются в самых разных областях, например, в курсе теоретической механики и вычислительной математики.

По условию задачи частота колебаний увеличилась в \(n\) раз, значит:

• согласно формуле \(\omega = 1/\sqrt{LC}\) ёмкость \(C\) уменьшилась в \(n^2\) раз;

• согласно выражению \(C = \varepsilon_0S/x\) расстояние \(x\) увеличилось в \(n^2\) раз;

• согласно инварианту \(Q^4x = \text{const}\) амплитуда \(Q\) уменьшилась в \(\sqrt{n}\) раз;

• согласно формуле \(W = Q^2/(2C)\) энергия \(W\) увеличилась в \(n\) раз.

Таким образом, искомая энергия колебаний увеличилась в \(n\) раз, то есть прямо пропорционально частоте колебаний.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.