Точечный заряд и вращающийся диполь

Силу на неподвижный заряд разложите по малому параметру \(r/R\); поправка к скорости вращения из закона сохранения энергии нужна, чтобы получить ненулевое среднее за период.

\(F_0 \approx -\dfrac{k^2Q^2q^2T^2}{2\pi^2mR^5}\); сила направлена против оси \(x\), то есть неподвижный заряд и вращающийся диполь отталкиваются при любых знаках зарядов.

В силу симметрии системы искомая сила \(F_0\) может быть направлена только вдоль оси \(x\), проходящей через закреплённый заряд и середину стержня, поэтому будем сразу рассматривать только проекцию силы на эту ось, так как проекции на перпендикулярные оси обнулятся при усреднении за период. Кроме того, поскольку длина стержня много меньше \(R\), то силу, действующую на закреплённый заряд, и расстояния между закреплённым и вращающимися зарядами, можно в каждый момент времени считать равными их проекциям на ось \(x\). Эти два факта и приближённое равенство из условия используются далее для упрощения расчётов.

Пусть \(r\) — радиус окружности, по которой движутся вращающиеся заряды, \(\varphi\) — угол поворота стержня от перпендикуляра к оси \(x\) (см. рисунок), тогда расстояния \(x_1\) и \(x_2\) от заряда \(Q\) до зарядов \(+q\) и \(-q\) соответственно имеют вид \[x_1 \approx R + r\sin\varphi,\qquad x_2 \approx R - r\sin\varphi.\] По закону Кулона выразим силу, действующую на закреплённый заряд в этом положении: \[F \approx -\dfrac{kQq}{x_1^2} + \dfrac{kQq}{x_2^2} \approx \dfrac{4kQqr\sin\varphi}{R^3}.\] Пусть \(v_0\) и \(v\) — скорости вращающихся зарядов, когда стержень соответственно перпендикулярен оси \(x\) и повёрнут на угол \(\varphi\), тогда закон сохранения энергии имеет вид \[2\cdot\dfrac{mv_0^2}{2} + 0 = 2\cdot\dfrac{mv^2}{2} + \left(\dfrac{kQq}{x_1} - \dfrac{kQq}{x_2}\right),\] откуда \[v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{kQq(x_1 - x_2)}{mx_1x_2}} \approx v_0\left(1 + \dfrac{kQqr\sin\varphi}{mv_0^2R^2}\right).\] Искомую среднюю за период силу найдём по определению: \[F_0 = \dfrac{1}{T}\int\limits_0^T F\,dt = \dfrac{1}{T}\int\limits_{-\pi}^{\pi} F\cdot\dfrac{r\,d\varphi}{v} \approx \dfrac{1}{T}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\dfrac{4kQqr\sin\varphi}{R^3}\cdot\left(1 - \dfrac{kQqr\sin\varphi}{mv_0^2R^2}\right)\dfrac{r\,d\varphi}{v_0} =\] \[= -\dfrac{4\pi k^2Q^2q^2r^3}{mv_0^3R^5T} \approx -\dfrac{k^2Q^2q^2T^2}{2\pi^2mR^5},\] где на последнем шаге преобразований было использовано приближённое равенство \(v_0T \approx 2\pi r\), справедливое в силу условия о малости изменений скорости. Знак минус в итоговом выражении для \(F\) с учётом вхождения всех зарядов в квадрате означает, что сила всегда направлена против оси \(x\), то есть точечный заряд и вращающийся диполь отталкиваются при любых знаках зарядов.

Примечание. Можно было заранее предсказать, что взаимодействие будет иметь характер отталкивания: когда к неподвижному заряду ближе оказывается заряд противоположного знака, наблюдается притяжение, однако из-за большей скорости вращения такие промежутки времени короче, чем периоды отталкивания, когда скорость меньше. Предлагаем читателям самостоятельно придумать, как получить пропорциональность \(F_0 \sim R^{-5}\) тоже на основе качественного анализа и даже без использования теории размерностей.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.