До какой же степени..?

Подсказка

Поле диполя на большом расстоянии получайте суперпозицией полей двух зарядов, разлагая по малому \(l/r\) с помощью \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\). Силу взаимодействия диполей находите как разность сил на концах второго диполя; индуцированный дипольный момент пропорционален полю.

Ответ

1) \(E_1=\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{p}{r^3}\); 2) \(F_1=\dfrac{q_0q_1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\), \(n=2\); 3) \(F_2=\dfrac{q_0}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{p}{r^3}\) (отталкивание), \(n=3\); 4) \(F_3=\dfrac{3p^2}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^4}\) (отталкивание), \(n=4\); 5) \(F_4=\dfrac{\alpha q_0^2}{8\pi^2\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^5}\) (притяжение), \(n=5\); 6) \(F_5=\dfrac{3\alpha p^2}{4\pi^2\varepsilon_0}\dfrac{1}{r^7}\) (притяжение), \(n=7\).

Решение

1. Напряженность электростатического поля \(E_1\), создаваемого диполем на больших расстояниях \(r (r \gg l)\) вдоль линии, соединяющей заряды, найдем по принципу суперпозиции полей. Для этого следует построить векторную сумму напряженностей, создаваемых в точке наблюдения положительным \(\vec{E}_+\) и отрицательным \(\vec{E}_-\) зарядами диполя

\[\vec{E} = \vec{E}_+ + \vec{E}_-.\]

Поскольку векторы \(\vec{E}_+\) и \(\vec{E}_-\) на этой прямой противоположны друг другу, то модуль их суммы

\[E_1 = E_+ - E_- = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\left(r - \frac{l}{2}\right)^2} - \frac{1}{\left(r + \frac{l}{2}\right)^2} \right).\tag{1}\]

Используя формулы приближенных вычислений \((1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha \cdot x\) при малых \(x\), получим

\[\frac{1}{\left(r \mp \frac{l}{2}\right)^2} = \frac{1}{r^2} \cdot \frac{1}{\left(1 \mp \frac{l}{2r}\right)^2} = \begin{cases} \alpha = -2 \\ x = \frac{l}{2r} \end{cases} = \frac{1}{r^2} \left(1 \pm \frac{l}{r}\right).\tag{2}\]

С учетом (2) выражение (1) примет вид

\[E_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r^2} \left(1 + \frac{l}{r}\right) - \frac{1}{r^2} \left(1 - \frac{l}{r}\right) \right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2l}{r^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}.\tag{3}\]

Подставляя в (3) выражение для дипольного момента \(p = ql\) системы, окончательно получаем

\[E _ { 1 } ( r ) = \frac { 1 } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } } \cdot \frac { p } { r ^ { 3 } } .\tag{4}\]

С учетом направления вектора дипольного момента \(\vec{p}\) системы (4) можно переписать в векторном виде (в решении не требуется)

\[\vec{E}_1 = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\vec{p}}{r^3}.\]

Таким образом, как следует из (4), модуль напряженности поля \(E_1\), создаваемого диполем вдоль его оси на больших расстояниях (\(r \gg l\)) убывает обратно пропорционально кубу расстояния \(r\) до диполя

\[E_1 \sim \frac{1}{r^3}.\tag{5}\]

Заметим, что выражение (4) можно получить и традиционным способом, без использования приведенного в условии приближенного равенства. Действительно, приняв обозначения

\[\begin{aligned} r_1 &= r - \frac{l}{2} \\ r_2 &= r + \frac{l}{2} \end{aligned},\]

перепишем (1) в виде

\[E_1 = E_+ - E_- = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_1^2} - \frac{1}{r_2^2} \right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{r_2^2 - r_1^2}{r_2^2 r_1^2}.\]

С учетом того, что \(r_2^2 - r_1^2 = 2rl\), и в рамках принятых приближений можно считать, что \(r_2^2 \cdot r_1^2 \approx r^4\), получим

\[E_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2rl}{r^4} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}.\]

Интересно, что зависимость, подобная (5), сохраняется и при нахождении напряженности поля \(E_2\) «перпендикулярно» диполю, т.е. на прямой, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его центр. В этом случае изменяется только безразмерный коэффициент

\[E_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3}.\]

Общая картина силовых линий диполя на большом расстоянии от него дана на рисунке справа. Расположение положительного и отрицательного зарядов диполя соответствует расположению, приведенному в условии задачи.

2. Согласно закону Кулона пробный заряд \(q_0\) (он является

положительным точечным зарядом) будет притягиваться к точечному заряду \(-q_1\) в вакууме с силой

\[F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0 q_1}{r^2}.\tag{6}\]

Согласно третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой \(F_1\) заряд \(-q_1\) будет притягиваться к заряду \(q_0\).

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

\[F_1 \sim \frac{1}{r^2}.\]

Таким образом, в данном пункте задачи

\[n = 2.\tag{7}\]

3. При взаимном расположении диполя \(\vec{p}\) и пробного заряда \(q_0\) как на рисунке взаимодействие будет носить характер отталкивания, поскольку одноименный (положительный) заряд диполя находится ближе к пробному (положительному) заряду, чем разноименный (отрицательный). В таком случае силы отталкивания преобладают над силами притяжения, что приводит к возникновению результирующей силы \(\vec{F}_2\), направленной вправо (см. рис).

Следовательно, в данном случае диполь будет отталкивать пробный заряд вдоль своей оси с силой

\[F_2 = q_0 E_1(r) = \{(4)\} = \frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3}.\tag{8}\]

Заметим, что при изменении ориентации диполя \((-\vec{p})\), характер взаимодействия диполя с пробным зарядом изменится с отталкивания на притяжение.

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

\[F_2 \sim \frac{1}{r^3}.\]

Таким образом, в данном пункте задачи

\[n = 3.\tag{9}\]

4. Для определенности будем считать, что левый диполь \(\vec{p}\) создает напряженность поля в пространстве, которое действует на правый диполь \(-\vec{p}\).

Поскольку одноименные заряды диполей находятся на меньших

расстояниях, чем разноименные, то согласно закону Кулона сила отталкивания в системе будет больше силы притяжения.

Это приведет к возникновению результирующей силы \(\vec{F}_3\) отталкивания между диполями, направленной вправо (см. рис.).

Используя (4), для рассматриваемой системы можем записать

\[F_3 = q\left(E_1(r - \frac{l}{2}) - E_1(r + \frac{l}{2})\right) = \frac{q\,p}{2\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{(r - \frac{l}{2})^3} - \frac{1}{(r + \frac{l}{2})^3}\right).\tag{10}\]

С помощью формулы приближенного вычисления \((1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha \cdot x\) (при \(x \to 0\)) в данном случае находим

\[\frac{1}{\left(r \mp \frac{l}{2}\right)^3} = \frac{1}{r^3} \cdot \frac{1}{\left(1 \mp \frac{l}{2r}\right)^3} = \begin{cases} \alpha = -3 \\ x = \frac{l}{2r} \end{cases} = \frac{1}{r^3}\left(1 \pm \frac{3}{2} \frac{l}{r}\right).\]

Соответственно, разность в выражении (10) примет вид

\[\frac{1}{(r - \frac{l}{2})^3} - \frac{1}{(r + \frac{l}{2})^3} \approx \frac{3l}{r^4}.\]

С учетом того, что \(p = ql\), окончательно получим

\[F_3 = \frac{3p^2}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^4}.\tag{11}\]

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

\[F_3 \sim \frac{1}{r^4}.\]

Таким образом, в данном пункте задачи

\[n = 4.\tag{12}\]

Заметим, что выражение (11) проще получить, используя производную от (4) по расстоянию \(r\), поскольку искомая сила \(F_3\) вычисляется как

\[F_3 = -p \frac{\partial E}{\partial r},\]

однако подобный подход выходит за рамки действующей школьной программы.

5. Будем считать, что напряженность \(E(r)\) электростатического поля, создаваемого точечным зарядом \(q_0\) в области нахождения молекулы, меняется незначительно (в силу малости размеров молекулы) и равна

\[E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0}{r^2}.\]

Тогда индуцированный дипольный момент молекулы примет значение

\[p_i = \alpha\varepsilon_0 E(r) = \alpha\varepsilon_0 \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0}{r^2} = \frac{\alpha}{4\pi} \cdot \frac{q_0}{r^2}.\]

В пункте 3 задачи мы вычислили силу взаимодействия диполя и точечного заряда, правда в рассматриваемом случае индуцированный (наведенный) дипольный момент \(\vec{p}_i\) имеет противоположное направление («от заряда»), что приведет к возникновению в данной системе силы притяжения.

Используя (8) и третий закон Ньютона, найдем силу притяжения вынужденно поляризованной молекулы к точечному заряду

\[F_4 = \frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p_i}{r^3} = \frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^3} \cdot \frac{\alpha}{4\pi} \frac{q_0}{r^2} = \frac{\alpha q_0^2}{8\pi^2\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^5}\tag{13}\]

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

\[F_4 \sim \frac{1}{r^5}.\]

Таким образом, в данном пункте задачи

\[n = 5.\tag{14}\]

6. Будем считать, что напряженность электростатического поля, создаваемого диполем \(\vec{p}\) в области нахождения молекулы, меняется незначительно. Тогда согласно (4) можем записать

\[E(r) = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3}.\]

Соответственно, индуцированный дипольный момент молекулы в этом случае примет значение

\[p_i = \alpha\varepsilon_0 \cdot \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3} = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \frac{p}{r^3}.\tag{15}\]

В пункте 4 задачи мы вычислили силу отталкивания между диполями, ориентированными «навстречу» друг другу. В данном случае диполи ориентированы в

одном направлении, поскольку наведенный дипольный момент всегда ориентирован «по полю». Это обстоятельство приведет к возникновению силы притяжения между диполями в рассматриваемой системе.

Считая взаимодействие диполей по формуле (11), получим величину силы притяжения между ними для рассматриваемого случая

\[F_{5}=\frac{3 p \cdot p_{i}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{1}{r^{4}}=\frac{3 p}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\alpha}{2 \pi} \cdot \frac{p}{r^{3}} \cdot \frac{1}{r^{4}}=\frac{3 \alpha p^{2}}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0}} \cdot \frac{1}{r^{7}}.\tag{16}\]

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

\[F_{5} \sim \frac{1}{r^{7}}.\]

Таким образом, в данном пункте задачи

\[n=7.\tag{17}\]

Интересно, что в пунктах 3 и 4 задачи имеет место сила отталкивания между объектами, а в пунктах 5 и 6, связанных с индуцированным дипольным моментом, всегда имеет место сила притяжения.

Это связано с тем, что направление напряженности внешнего электрического поля однозначно определяет направление возникающего дипольного момента \(\vec{p}\) поляризуемого объекта — он всегда ориентирован «по силовой линии» внешнего (индуцирующего) поля.

В завершение задачи на рисунке справа приведена достаточно забавная (но верная!) зависимость показателя степени \(n\) в выражении для силы взаимодействия \(F_{i}\) от номера \(N\) пункта задачи.

Как говорится, комментарии излишни, но так и не понятно, почему последняя точка не ложится «на прямую». Было бы так красиво...

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.