Машина Ньюкомена

Поршни движутся равномерно, значит, силы на них скомпенсированы, а натяжения тросов равны: давление пара под поршнем линейно зависит от высоты подъёма и отличается от атмосферного на давление столба воды в насосе. Полезную работу совершает атмосферное давление; теплота тратится на испарение воды для заполнения цилиндра.

1) при подъёме \(\dfrac{P_1}{P_0}=(1-b)+b\dfrac{x}{h}\), при опускании \(\dfrac{P_1}{P_0}=\Bigl(1-b\bigl(1+\dfrac{H}{h}\bigr)\Bigr)+b\dfrac{x}{h}\), где \(b=\dfrac{\rho gh}{P_0}\dfrac{S_2}{S_1}\approx1{,}11\cdot10^{-2}\); 2) \(t_{\max}=100^\circ\)C, \(t_{\min}\approx98^\circ\)C (\(P_{\min}\approx0{,}92\cdot10^5\) Па); 3) \(A\approx2{,}0\cdot10^3\) Дж; 4) \(\eta\approx5{,}4\cdot10^{-3}\), с учётом теплоёмкости железного цилиндра \(\eta'\approx3{,}6\cdot10^{-3}\); 5) КПД цикла Карно \(\eta_0=\dfrac{\Delta T}{T}\approx5{,}4\cdot10^{-3}\), совпадает с КПД без учёта теплоёмкости цилиндра.

Обозначим давление пара в рабочем цилиндре \(P_1\), а давление воды на поршень цилиндра насоса \(P_2\). Так как поршни движутся равномерно, то сумма сил, действующих на них равна нулю. Кроме того, так как коромысло уравновешено, силы натяжений тросов, прикрепленных к поршням равны. Если поршень рабочего цилиндра находится на высоте \(x\), то поршень насоса находится на высоте \(h-x\). Выразим эти условия в уравнениях

\[\begin{cases} F = (P_0 - P_2)S_2 \\ F = (P_0 - P_1)S_1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad P_1 = P_0 - (P_0 - P_2)\frac{S_2}{S_1}.\tag{1}\]

Очевидно, что

\[P_0 - P_2 = \rho g(h - x)\tag{2}\]

При опускании поршня насоса, и

\[P_0 - P_2 = \rho g(H + h - x)\tag{3}\]

При его подъеме. Таким образом, зависимости давления от положения поршня рабочего насоса имеют вид:

— при подъеме поршня рабочего цилиндра

\[P_1 = P_0 - \rho g(h - x)\frac{S_2}{S_1} \quad \Rightarrow \quad \frac{P_1}{P_0} = 1 - \frac{\rho g h}{P_0}\frac{S_2}{S_1}\left(1 - \frac{x}{h}\right);\tag{4}\]

— при его опускании

\[P_1 = P_0 - \rho g(H + h - x)\frac{S_2}{S_1} \quad \Rightarrow \quad \frac{P_1}{P_0} = 1 - \frac{\rho g h}{P_0}\frac{S_2}{S_1}\left(1 + \frac{H}{h} - \frac{x}{h}\right).\tag{5}\]

Обозначим параметр системы (и вычислим его численное значение):

\[b = \frac{\rho g h}{P_0}\frac{S_2}{S_1} = \frac{1{,}0 \cdot 10^3 \cdot 10 \cdot 1}{1{,}0 \cdot 10^5}\left(\frac{20}{60}\right)^2 = 1{,}11 \cdot 10^{-2}.\tag{6}\]

Таким образом, в «безразмерных параметрах» зависимости давления пара от высоты подъема имеют вид:

\[\begin{cases} \displaystyle \frac{P_1}{P_0} = (1 - b) + b\frac{x}{h} \\[1em] \displaystyle \frac{P_1}{P_0} = \left(1 - b\left(1 + \frac{H}{h}\right)\right) + b\frac{x}{h} \end{cases}.\tag{7}\]

Теперь не представляет труда построить диаграмму циклического процесса. Из рассмотрения процесса следует, что максимальная температура пара в цикле равна \(t_{\text{max}} = 100^\circ\text{C}\). Минимальная температура равна температуре кипения при минимальном давлении в цикле, т.е. при

\[P_{\text{min}} = P_0\left(1 - b\left(1 + \frac{H}{h}\right)\right) = 0{,}92 \cdot 10^5\,\text{Па}.\tag{7}\]

Для определения соответствующей температуры необходимо воспользоваться предлагаемой в условии линеаризацией зависимости температуры кипения от давления. Так изменение температуры при единичном изменении давления равен

\[\frac{\Delta t}{\Delta P} = \frac{110 - 100}{(1{,}4 - 1{,}0) \cdot 10^5} = 25 \cdot 10^{-5} \, \frac{\text{К}}{\text{Па}}.\tag{8}\]

Следовательно, искомая температура будет равна

\[t_{\min} = t_0 - \left( \frac{\Delta t}{\Delta P} \right) (P_0 - P_{\min}) = 100^\circ C - 25 \cdot 10^{-5} \cdot 0{,}08 \cdot 10^5 = 98^\circ C.\tag{9}\]

Полезную работу, фактически, совершает атмосферное давление! Работа, совершенная за цикл, отмечена на диаграмме заливкой. Численное значение этой работы

\[A = P_0 \cdot (1 - 0{,}93) \cdot \pi \frac{d_1^2}{4} h = 2{,}0 \cdot 10^3 \, \text{Дж}.\tag{10}\]

Теплота от нагревателя поступает на испарение воды (практически при атмосферном давлении), для заполнения котла. Максимальная масса пара в рабочем цилиндре находится из уравнения состояния

\[PV = \frac{m}{M} RT \quad \Rightarrow \quad m = \frac{MPV}{RT} = \frac{18 \cdot 10^{-3} \cdot 10^5 \cdot \pi \cdot 0{,}3^2 \cdot 1}{8{,}31 \cdot 373} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-1} \, \text{кг}.\tag{11}\]

Количество теплоты, требуемое на испарение,

\[Q = Lm = 3{,}7 \cdot 10^5 \, \text{Дж}.\tag{12}\]

Теперь можно рассчитать КПД машины

\[\eta = \frac{A}{Q} = 5{,}4 \cdot 10^{-3}.\tag{13}\]

На нагревание котла требуется количество теплоты

\[Q_1 = c_1 m_1 \Delta t = 0{,}46 \cdot 10^3 \cdot 200 \cdot 2 = 1{,}8 \cdot 10^5 \, \text{Дж}.\tag{14}\]

Следовательно, с учетом теплоемкости котла, КПД понижается до

\[\eta' = \frac{A}{Q + Q_1} = 3{,}6 \cdot 10^{-3}.\tag{15}\]

Наконец, КПД машины, работающей по циклу Карно в том же диапазоне температур, равен

\[\eta_0 = \frac{\Delta T}{T_0} = \frac{2}{373} \approx 5{,}4 \cdot 10^{-3}.\tag{16}\]

что, как это не удивительно, совпадает с ранее полученным результатом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.