Фонарь

Подсказка

Условие равновесия трубки — равенство моментов силы тяжести груза и силы упругости жгута относительно шарнира. После сокращения на \(\sin\alpha\) или \(\cos\frac\alpha2\) не забудьте про потерянные корни. Устойчивость положений удобно исследовать через потенциальную энергию как функцию длины жгута.

Ответ

1.1) \(mgl\sin\alpha=Fl\cos\dfrac{\alpha}{2}\); 1.2) \(mg=kl\) (при заданных параметрах выполняется: \(l=x_1\)); 1.3) потерянные корни \(\alpha^*=0\) и \(\alpha^*=\pi\): при \(m<m^*=7{,}0\) кг устойчив \(\alpha^*=0\), при \(m>m^*\) устойчив \(\alpha^*=\pi\); 2.1) \(mgl\sin\alpha=k(x-x_0)\,l\cos\dfrac{\alpha}{2}\); 2.2) \(x=\dfrac{x_0}{1-\dfrac{m(x_1-x_0)}{m_0l}}\) (и корень \(x=2l\)); 2.3) \(m_{\max}=m_0\dfrac{2l-x_0}{2(x_1-x_0)}\approx8{,}4\) кг; 2.4) \(U=\dfrac k2\Bigl(\bigl(1-\dfrac{mg}{kl}\bigr)x^2-2xx_0+x_0^2\Bigr)\), при \(mg<kl\) устойчиво положение \(x=\dfrac{x_0}{1-mg/kl}\), при \(mg>kl\) — \(x=2l\); 3.1) при \(m<6{,}3\) кг и при \(m>8{,}75\) кг одно положение равновесия, при \(6{,}3\text{ кг}<m<8{,}75\) кг — три (среднее неустойчиво); бистабильность и петля гистерезиса при увеличении и последующем уменьшении нагрузки.

Решение

Часть 1.

Условие равновесия удобно записать, приравнивая модули моментов силы тяжести \(m\vec{g}\) и силы упругости жгута \(\vec{F}\), относительно шарнирного крепления

\[mgl \sin \alpha = Fl \cos \frac{\alpha}{2}.\tag{1}\]

Длина растянутого жгута равна

\[x = 2l \sin \frac{\alpha}{2}.\tag{2}\]

При выполнении закона Гука и пренебрежимо малой начальной длине жгута сила упругости выражается формулой

\[F = kx = 2kl \sin \frac{\alpha}{2}.\tag{3}\]

Таким образом, уравнения равновесия имеет вид

\[mgl \sin \alpha = 2kl \sin \frac{\alpha}{2} \cdot l \cos \frac{\alpha}{2}.\tag{4}\]

Если воспользоваться тригонометрической формулой и сократить \(\sin \alpha\), то получается приведенное условие

\[mg = kl.\tag{5}\]

Для определения коэффициента жесткости следует воспользоваться результатами измерений длины жгута при известной массе подвешенного груза.

\[m_0 g = kx_1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{m_0 g}{x_1}.\tag{6}\]

Подстановка этого значения в условие (5) дает

\[m_0 g = \frac{m_0 g}{x_1} l \quad \Rightarrow \quad l = x_1 \quad (?)\tag{7}\]

что случайно выполняется в данном случае! Однако уравнение (4) имеет корни, (которые оказались потерянными при сокращении)

\[\sin \alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha^* = 0, \quad \alpha^* = \pi.\tag{8}\]

При \(mg < kl\) устойчивым будет корень \(\alpha^* = 0\), при \(mg > kl\) устойчивым будет корень \(\alpha^* = \pi\). Критическое значение массы, при котором произойдет опрокидывание находится из исходных данных

\[m^* g = kl = \frac{m_0 g}{x_1} l \quad \Rightarrow\]

\[m^* = m_0 \frac{l}{x_1} = 7{,}0 \text{ кг}\tag{9}\]

Требуемый график имеет вид, показанный на рисунке.

Примечание. Здесь записаны условия равновесия для произвольной массы подвешенного груза.

Часть 2.

Уравнение равновесия в данном случае будет иметь вид

\[mg \cdot l \sin \alpha = k(x - x_0) \cdot l \cos \frac{\alpha}{2}.\tag{10}\]

Используя приведенную в условии тригонометрическую формулу, получим

\[mg \cdot 2l \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = k(x - x_0) \cdot l \cos \frac{\alpha}{2},\]

Наконец, учтем, что \(2l \sin \frac{\alpha}{2} = x\), тогда окончательно получим уравнение равновесия

\[mgx \cos \frac{\alpha}{2} = k(x - x_0) \cdot l \cos \frac{\alpha}{2}.\tag{11}\]

Это уравнение имеет корень, соответствующий условию

\[\cos \frac{\alpha}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = \pi \quad (x = 2l).\tag{12}\]

Второй корень находится из уравнения

\[mgx = kl(x - x_0) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{x_0}{1 - \frac{mg}{kl}} = \frac{x_0}{1 - \frac{m(x_1 - x_0)}{m_0 l}},\tag{11}\]

При выводе использовано выражение для жесткости жгута

\[m_0 g = k(x_1 - x_0) \quad \Rightarrow \quad k = \frac{m_0 g}{x_1 - x_0}.\tag{12}\]

Для анализа устойчивости найденных точек равновесия можно рассмотреть зависимость потенциальной энергии системы от длины шнура. Потенциальная энергия системы включает:

— потенциальную энергию растянутого жгута \(\quad U_1 = \frac{k(x - x_0)^2}{2}\);

— потенциальную энергию подвешенного груза (относительно верхней точки крепления \(C\)) \(U_2 = -mgz\). Из теоремы Пифагора для треугольников \(\Delta ABD\) и \(\Delta BCD\) следует

\[\begin{cases} d^2 = x^2 - z^2 \\ d^2 = l^2 - (l - z)^2 = 2lz - z^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad z = \frac{x^2}{2l}\tag{13}\]

Таким образом, выражение для полной потенциальной энергии приобретает вид

\[U = \frac{k(x - x_0)^2}{2} - mg \frac{x^2}{2l} = \frac{k}{2} \left( (x - x_0)^2 - \frac{mg}{kl} x^2 \right) = \frac{k}{2} \left( \left(1 - \frac{mg}{kl}\right) x^2 - 2xx_0 + x_0^2 \right).\tag{14}\]

График этой зависимости есть парабола, с вершиной в точке

\[x = \frac{x_0}{1 - \frac{mg}{kl}},\]

что соответствует второму корню (11) уравнения равновесия. При \(mg < kl\) ветви этой параболы направлены вверх, поэтому положение равновесия (11) является устойчивым, при больших массах \(mg > kl\) это положение становится неустойчивым, устойчивым становится решение \(x = 2l\). Максимальное значение массы можно найти, положив в формуле (11) \(x = 2l\):

\[\frac { x _ { 0 } } { 1 - \displaystyle \frac { m ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) } { m _ { 0 } l } } = 2 l \quad \Rightarrow \quad 2 l - 2 \frac { m ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) } { m _ { 0 } } = x _ { 0 } \quad \Rightarrow\]

\[m = m _ { 0 } \frac { 2 l - x _ { 0 } } { 2 ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) } \approx 8 { , } 4 \text{ кг}\tag{15}\]

Часть 3.

Запишем еще раз условие равновесия трубки:

\[m g l \sin \alpha = F l \cos \frac { \alpha } { 2 } \quad \Rightarrow \quad m g \cdot 2 l \sin \frac { \alpha } { 2 } \cos \frac { \alpha } { 2 } = F l \cos \frac { \alpha } { 2 } .\tag{16}\]

После сокращения на косинус половинного угла (не забывая о потерянном при этом корне), получим уравнение для определения \(x\)

\[\frac { m g } { l } x = F ( x ) .\tag{16}\]

Это уравнение можно решить графически (можно и аналитически), для этого необходимо построить график зависимости величины \(\frac { 1 } { g } F ( x )\), для этого достаточно «перевернуть» график зависимости длины шнура от массы подвешенного груза, приведенный в условии задачи. Затем на этом графике следует провести семейство прямых \(f ( x ) = \frac { m } { l } x\) и найти точку их пресечения. Такие построения показаны на рисунке.

При массах груза, подвешенного кронштейну, меньших \(m _ { 1 } = 6 { , } 3 \text{ кг}\) имеется одно положение равновесия. Длина шнура в этом случае линейно изменяется от нуля до \(0 { , } 4\) м. Пи массах больших \(m _ { 2 } = 8 { , } 7 5 \text{ кг}\) также имеется одно положения равновесия. В этом интервале длина шнура линейно изменяется от \(1\) м до \(24\) м (когда масса груза достигает \(m _ { 3 } = 1 0 { , } 5 \text{ кг}\)).

В диапазоне масс от \(m_1 = 6{,}3\) кг до \(m_2 = 8{,}75\) кг есть три положения равновесия, центральное из которых является неустойчивым. Поэтому в этой области система обладает бистабильностью. Какое из возможных положений равновесия установится зависит от предыдущих состояний, следовательно, при увеличении нагрузки и последующем ее уменьшении будет наблюдаться петля гистерезиса (см. рис).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.