Тепловые двигатели, КПД, цикл Карно

Миниэлектростанция вырабатывает электроэнергию для питания установки мощностью 2,34 кВт. За один час работы расходуется дизельное топливо массой 1 кг с теплотой сгорания 42 МДж/кг. Чему равен КПД электростанции? Ответ представьте в процентах и округлите до целых.

С одним молем идеального одноатомного газа происходит циклический процесс 1–2–3–1, график которого приведен на \(pV\)-диаграмме. Температуры газа в состояниях 1, 2 и 3 равны \(T_1 = 4T_0\), \(T_2 = 9T_0\) и \(T_3 = 3T_0\) соответственно. 1) Чему равна работа, совершаемая газом за один цикл? 2) Определите КПД этого процесса.

С одним молем идеального одноатомного газа проводится циклический процесс, состоящий из двух изотерм и двух изохор. Отношение объёмов на изохорах равно \(e\) (\(e\) — основание натурального логарифма, \(\ln e = 1\)). Отношение температур на изотермах равно \(\dfrac{4}{3}\). Определите отношение \(k = \dfrac{\eta}{\eta_0}\) КПД данного цикла к КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно с теми же температурами на изотермах. В ответе на вопрос задачи укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

Работа газа в изотермическом процессе при расширении от объёма \(V_1\) до объёма \(V_2\) даётся формулой \(A = \nu R T \ln\dfrac{V_2}{V_1}\), где \(\nu\) — количество вещества, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — температура.

В тепловом двигателе, рабочим телом которого является один моль идеального одноатомного газа, совершается циклический процесс, изображённый на рисунке, где 1–2 – изохорный процесс. Работа газа за один цикл составляет \(A = 60\) Дж, температуры газа в состояниях 1 и 3 равны \(T_1 = 320\) К и \(T_3 = 350\) К соответственно. Найдите коэффициент полезного действия цикла.

Фотонный газ участвует в процессе, изображенном на рисунке. Внутренняя энергия \(U\) этого газа пропорциональна его объему \(V\) и абсолютной температуре \(T\) в четвертой степени: \(U = \alpha V T^4\). Давление \(P\) этого газа равно одной третьей части отношения внутренней энергии к объему: \(P = \alpha T^4/3\).

1. Каков КПД этого процесса? Ответ выразите в процентах и округлите до десятых.

2. Каков максимально возможный КПД теплового двигателя при температурах нагревателя и холодильника, равных максимальной и минимальной температурам в рассматриваемом процессе? Ответ выразите в процентах и округлите до десятых.

В задаче рассматривается термодинамическая модель двигателя Стирлинга, схематично изображенного на рис. 4. Поршни 3 совершают возвратно-поступательное движение, преобразующееся во вращательное движение с помощью кривошипно-шатунных передач. Рабочий цилиндр 1 нагревают горелкой. В рамках модели считается, что его температура поддерживается постоянной (обозначим её \(T\)). На вытеснительном цилиндре 2 закреплён радиатор 7 для улучшения теплообмена, температура в цилиндре считается равной комнатной температуре \(T_0\). Рабочее тело 4 (воздух) перекачивается из рабочего цилиндра в вытеснительный и обратно по трубке 5. Устройство 6 — это специальный теплообменник. При перетекании воздуха из рабочего цилиндра в вытеснительный в этом теплообменнике аккумулируется количество теплоты, неизрасходованное рабочим телом на совершение работы в рабочем цилиндре. Затем эта теплота полностью возвращается воздуху при его обратном течении из вытеснительного цилиндра в рабочий. Поэтому можно считать, что всё количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, расходуется на совершение работы в рабочем цилиндре. Максимальный объём воздуха в рабочем цилиндре обозначим \(V_{01}\), а в вытеснительном — \(V_{02}\). Объёмом трубки можно пренебречь.

В результате компьютерных расчётов были получены диаграммы зависимости относительного давления от относительного объёма: для рабочего цилиндра — чёрная линия, для вытеснительного — серая линия. При этом цикл для рабочего цилиндра обходится по часовой стрелке, а для вытеснительного — против часовой, \(V_{02} = 1{,}25\cdot V_{01}\).

1. Определите числовое значение отношения температур \(T\) и \(T_0\).

2. Какая часть общей массы воздуха находится в рабочем цилиндре при давлении \(3p_0\)?

3. Найдите значение КПД двигателя в рамках данной модели.

Рабочим телом тепловой машины служит некоторое количество воды. Цикл, по которому работает машина, показан на рисунке в \(p\)–\(T\) координатах (пунктиром изображена зависимость давления насыщенных паров воды от температуры). Он состоит из изобарического (1–2–3), изохорического (3–4) и изотермического (4–1) участков. Найдите КПД этого цикла, считая воду практически несжимаемой жидкостью.

Две тепловые машины используют в качестве рабочего тела постоянное количество одноатомного идеального газа. Циклы, по которым работают эти машины, при изображении в координатах «давление-объём» при некотором выборе масштабов являются двумя половинами одной окружности: первая машина работает по циклу \(ACBA\), а вторая "— по циклу \(ABDA\) (см. рисунок). Диаметр \(AB\) этой окружности лежит на прямой, проходящей через начало координат, и обладает тем свойством, что на участке цикла \(ACB\) газ только получает теплоту от нагревателя, а на участке \(BDA\) "— только отдаёт теплоту нагревателю. Центр окружности соответствует объёму \(V_0\), радиус окружности при выбранном масштабе равен \(r = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\). Во сколько раз максимально возможный КПД второй машины отличается от максимально возможного КПД первой машины?

Автомобиль «Камаз» проехал из Санкт-Петербурга в Москву за время \(t = 16\) часов, пройдя по дороге 720 км и истратив объем \(V = 200\) л дизельного топлива. Движительная установка автомобиля состоит из дизельного двигателя внутреннего сгорания, трансмиссии и шасси.

Найдите КПД (эффективность) автомобиля и его среднюю механическую мощность на всем пути, считая, что механические потери в трансмиссии и шасси составляют \(\alpha = 5\%\), а двигатель работает по циклу Дизеля, рабочим телом которого является идеальный трехатомный газ (теплоемкость одного моля такого газа в изохорном процессе равна \(C_V = 3R\)). Цикл Дизеля состоит из четырёх процессов: адиабатного сжатия рабочего тела, изобарного подвода теплоты к рабочему телу, адиабатного расширения рабочего тела и его изохорного охлаждения, в конце которого осуществляется выпуск продуктов сгорания топлива в атмосферу. Удельная теплота сгорания дизельного топлива \(q = 42\) МДж/кг, а его плотность \(\rho = 0{,}82\) кг/л. Максимальный объём камеры сгорания – 6000 мл, минимальный – 375 мл, максимальный объём в изобарном процессе – 1500 мл, максимальное давление – 40 атм, максимальное давление при изохорном охлаждении – 6 атм.

Автомобиль движется с постоянной скоростью 20 м/с по горизонтальному шоссе, развивая мощность 40 кВт. Проехав 20 км, автомобиль израсходовал 3 кг бензина. Чему равен КПД двигателя автомобиля? Удельная теплота сгорания бензина равна 46 МДж/кг. Ответ выразите в процентах и округлите до целых.

Двигатель автомобиля расходует 1 г бензина за секунду. За какое время автомобиль разгонится до скорости 10 м/с, если его масса составляет одну тонну, а КПД двигателя 30 процентов? Ответ выразите в секундах и округлите до десятых. Удельная теплота сгорания бензина 46 МДж/кг.

Рабочим телом двух тепловых машин, работающих по циклам, изображённым на рисунке, является одноатомный идеальный газ. Величины объёма и давления на этом графике в условных единицах.

1. Чему равен КПД «синего» цикла? Ответ выразите в процентах, округлите до десятых.

2. Чему равен КПД «красного» цикла? Ответ выразите в процентах, округлите до десятых.

Тепловая машина комнатной сплит-системы работает по обратному циклу Карно, при этом можно считать, что температура на «горячей» изотерме цикла равна температуре в комнате, а на «холодной» — температуре на улице. Летом, когда температура за окном равна \(+27\,^\circ\)С, сплит-система, работая в режиме кондиционирования (как холодильный агрегат), поддерживает в комнате температуру \(+17\,^\circ\)С и потребляет от электросети среднюю мощность \(N_1\). В начале зимы, когда температура на улице опускается до \(-3\,^\circ\)С, в сплит-системе включается режим теплового насоса, и она поддерживает в комнате ту же температуру \(+17\,^\circ\)С, что и летом, потребляя среднюю мощность \(N_2\). Можно считать, что тепловой поток (через окна и стены) пропорционален разности температур в комнате и на улице с одинаковым коэффициентом пропорциональности летом и зимой. Найдите отношение мощностей \(n = \dfrac{N_2}{N_1}\), потребляемых сплит-системой при работе в разных режимах.

На \(pV\)-диаграмме представлен цикл 1–2–3–4, который проводится с идеальным одноатомным газом. Участки 2–3 и 4–1 цикла соответствуют изохорным процессам, на участках 1–2 и 3–4 цикла давление газа изменяется прямо пропорционально его объему. Давление газа в состояниях 1 и 3 одинаково. Найдите КПД этого цикла, если отношение максимального объема газа к его минимальному объему равно \(n = 1{,}5\).

Идеальный газ сначала изотермически расширяют, затем охлаждают при постоянном объёме, пока его температура (в кельвинах) не уменьшится в два раза, после чего газ изотермически сжимают до первоначального объёма и, наконец, завершая циклический процесс, изохорно возвращают в исходное состояние, сообщая такое же количество теплоты, что и при изотермическом расширении. Определите КПД этого цикла.

Успешный бизнесмен Иван Михайлович решил порадовать свое подрастающее чадо поездкой на Новый год в теплые страны, куда полет на самолете занимал долгие 8 часов. Пока самолет набирал высоту, папа рассказывал сыну,

что расход топлива их самолета при взлете равен 14040 кг/ч, и эта величина больше, чем при полете на неизменной высоте с постоянной скоростью;

что КПД двигателей на взлете составляет примерно 12%;

что самолет оснащен четырьмя двигателями с силой тяги по 127,4 кН каждый;

что масса полностью загруженного и заправленного самолета равна 208 тоннам;

и, наконец, что удельная теплота сгорания авиационного топлива равна 43 МДж/кг.

Повествование прервалось сообщением пилота о том, что самолет движется на высоте 8230 м со скоростью 936 км/ч. Уставший Иван Михайлович заключил: «А теперь, сынок, чтобы не расслабляться от учебы раньше времени и не скучать, выбери необходимые данные из тех, которые я тебе сообщил, и посчитай, сколько секунд продолжался набор высоты самолета». Помогите сыну Ивана Михайловича справиться с заданием папы.

Уменьшением массы самолета за время взлета можно пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

А) Определите КПД \(\eta\) циклического процесса \(11'231\), который совершается с одноатомным идеальным газом. \(pV\)-диаграмма цикла изображена на рисунке. Кривая \(11'2\) на диаграмме "— четверть дуги окружности (при соответствующем выборе масштабов). Объём газа в цикле меняется в диапазоне от \(V_0\) до \(2V_0\), давление меняется в диапазоне от \(p_0\) до \(2p_0\). Минимальная температура газа равна \(T_0 = 120\) К, а количество вещества составляет \(\nu = 1\) моль. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).

Б) Разделим данный цикл некоторой дугой \(12'2\) так, как показано на рисунке. КПД цикла \(12'231\) равен \(\eta_1\). Определите КПД цикла \(11'22'1\).

Найдите КПД цикла, проводимого с гелием, если он состоит из четверти окружности и треугольника на PV диаграмме. Выразите КПД в процентах и округлите до целых.

Рабочим телом тепловой машины является идеальный двухатомный газ. Машина работает по циклу, состоящему из трёх процессов: нагревания при постоянном объёме, изобарного расширения и процесса, в котором давление изменяется пропорционально объёму. КПД этого цикла равен \(\dfrac{100\,\%}{31}\). Определите отношение максимальной температуры газа в цикле к минимальной. Ответ округлите до целого.

С одним молем одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1-2-3-4-1, как показано на рисунке в координатах \(\rho\)–\(T\) (плотность-температура). Участок 2-3 — гипербола. Температуры в точках 1, 2 и 3 равны, соответственно, \(T_1 = 300\) К, \(T_2 = 500\) К, \(T_3 = 800\) К. На участке 4-1 газ отдает холодильнику количество теплоты \(Q_{41} \approx 1172\) Дж. Найти КПД цикла.

На рисунке изображены \(pV\)–диаграммы двух циклических процессов: \(1 - 2 - 4 - 1\) и \(1 - 3 - 4 - 1\), совершаемых над одинаковыми количествами идеального одноатомного газа, причем участок \(4 - 1\) — изотермический, а температуры в точках 2 и 3, а также давления в точках 1 и 3 одинаковы. Чему равно отношение \(n = \dfrac{\eta_{1241}}{\eta_{1341}}\), где \(\eta_{1241}\) — КПД цикла \(1 - 2 - 4 - 1\), а \(\eta_{1341}\) — КПД цикла \(1 - 3 - 4 - 1\)?

Один моль идеального газа участвует в циклическом процессе \(1 \to 2 \to 3 \to 1\) тепловой машины, работающей в режиме теплового двигателя. В состоянии 1 газ имеет температуру \(T_1\) и объём \(V_1\). Известно, что все переходы газа из одного состояния в другое — политропические. Показатель политропы процесса \(2 \to 3\) на единицу больше показателя политропы процесса \(3 \to 1\) и на единицу меньше показателя политропы процесса \(1 \to 2\). В процессе \(1 \to 2\) объём газа увеличивается в \(k\) раз. Один из процессов цикла — изотермический, причём в этом процессе объём газа изменяет своё значение в максимально широких пределах в этом цикле.

1. Определите объём и температуру газа в состоянии 3.

2. Изобразите на \(pV\)-диаграмме цикл, соответствующий условию задачи, указав для каждого из процессов его показатель политропы.

Цикл Стирлинга состоит из двух изохор и двух изотерм. Для увеличения КПД этого цикла используют регенератор "— тепловой резервуар, которому рабочее тело (идеальный газ) отдаёт некоторое количество теплоты \(Q^*\) при изохорном охлаждении, и от которого получает такое же количество теплоты \(Q^*\) при изохорном нагревании. Эффективность регенератора характеризуется коэффициентом \(k = Q^*/Q_V\), где \(Q_V\) "— полное количество теплоты, получаемое рабочим телом на участке изохорного нагревания. КПД цикла зависит от коэффициента регенерации \(k\).

Пусть КПД некоторого цикла Стирлинга с регенерацией изменяется от минимально возможного значения \(1/6\) до максимально возможного значения \(1/3\) в зависимости от коэффициента \(k\).

1. Во сколько раз максимальная температура газа в течение этого цикла больше минимальной температуры?

2. Определите КПД этого цикла при коэффициенте регенерации \(k = 1/2\) (при тех же температурах нагревателя и холодильника).

Задняя стенка не очень современного морозильника, на которой располагаются трубки конденсатора холодильной машины, работающей по обращённому циклу Карно, греется, так что её средняя температура \(T_S\) в рабочем режиме выше температуры в комнате \(T_R\). Внутри морозильной камеры холодильная машина поддерживает среднюю температуру \(T_C = -23\,{}^\circ\text{С}\).

Известно, что в стационарном режиме, когда температура задней стенки и температура в камере установились, а температура в комнате не меняется со временем, мотор компрессора этого не очень современного морозильника работает без остановки.

В жару, когда температура в комнате поднимается до \(T_R^{(0)} = +27\,{}^\circ\text{С}\), задняя стенка нагревается до \(T_S^{(0)} = +47\,{}^\circ\text{С}\). Определите температуру задней стенки морозильника зимой в холодный день, когда температура воздуха в комнате уменьшается до значения \(T_R^{(1)} = +17\,{}^\circ\text{С}\).

Мощность передачи тепла от горячего тела холодному (например, от воздуха в комнате холодильной камере через теплоизоляцию) пропорциональна разности соответствующих температур.

Идеальный двухатомный газ совершает циклический процесс, состоящий из четырёх последовательных участков: \(1-2\), \(2-3\), \(3-4\) и \(4-1\). Пусть \(p\), \(V\) и \(n\) — давление, объём и концентрация газа, а \(p_0\), \(V_0\) и \(n_0\) — некоторые постоянные величины, причём \(n_0V_0 = N_0\), где \(N_0\) — неизменное число молекул газа.

Если изобразить этот цикл на диаграмме состояний в координатах \(p/p_0\) (ордината) и \(V/V_0\) (абсцисса), то участки \(1-2\) и \(3-4\) представляют собой отрезки, лежащие на прямых, проходящих через начало координат. Точка \(2\) имеет наибольшую ординату в цикле, а участок \(4-1\) содержит точку с координатами \((1{,}1)\). Углы наклона участков \(1-2\) и \(3-4\) к оси абсцисс отличаются на \(\alpha\). Масштаб осей на графике — одинаковый.

Если изобразить этот же цикл на диаграмме состояний в координатах \(p/p_0\) (ордината) и \(n/n_0\) (абсцисса), то теперь уже участки \(2-3\) и \(4-1\) представляют собой отрезки, лежащие на прямых, проходящих через начало координат. Масштаб осей на этом графике — также одинаковый.

Известно, что КПД цикла идеальной тепловой машины, построенного между максимальной и минимальной температурами, достигаемыми в ходе данного цикла, равно \(\eta_K = 0{,}5\).

1. Найдите углы наклона прямых, содержащих отрезки \(2-3\) и \(4-1\) на диаграмме состояний в координатах \(p/p_0 - n/n_0\).

2. Постройте (качественно) рассматриваемый цикл на диаграмме состояний в координатах \(n/n_0\) (ордината) и \(T/T_0\) (абсцисса), где \(T\) — абсолютная температура, а \(p_0 = n_0kT_0\). Отметьте на полученном графике известные точки/точку и значения.

3. Какие значения может принимать КПД данного цикла?

4. Найдите диапазон возможных КПД для значения угла \(\alpha = \pi/3\).

5. Найдите диапазон возможных КПД для значения угла \(\alpha = \pi/6\).