Цилиндр и нелинейная плотность заряда

Сложите заданное распределение с его зеркальным отражением относительно середины высоты: сумма даст равномерно заряженную поверхность, поле которой в центре основания легко найти.

Силы, действующие на заряды диполя, направлены в одну сторону: вниз вдоль оси цилиндра (против оси \(x\)) — в силу осевой симметрии распределения заряда. Пусть \(E_1\) — напряжённость поля цилиндра в точке \(O\), \(E_2\) — в точке \(B\). Тогда сила, действующая на диполь, \(F = q(E_1 + E_2)\).

Наложим на исходный цилиндр такой же, с плотностью \(\sigma'(x) = \sigma(H - x)\). Сумма распределений даёт равномерно заряженный по поверхности цилиндр: \[\sigma(x) + \sigma'(x) = \sigma_0\sin^2\frac{\pi x}{2H} + \sigma_0\sin^2\frac{\pi(H - x)}{2H} = \sigma_0.\] По принципу суперпозиции напряжённость в центре каждого основания равна \(E = E_1 + E_2\). Поле в центре основания равномерно заряженного цилиндра найдём интегрированием по кольцам: \[E_1 + E_2 = \int_0^H \frac{\sigma_0\cdot 2\pi R\,x}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{R}{\sqrt{R^2 + H^2}}\right).\] Отсюда \(F = \dfrac{q\sigma_0}{2\varepsilon_0}\left(1 - \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + H^2}}\right)\).