Заряд вокруг диполя

Разложите силу на две составляющие и сравните с движением тела на нити длиной \(r\) в поле тяжести: силы окажутся такими же, значит заряд движется по окружности.

\(v = \sqrt{2gr} = \sqrt{\dfrac{2kp|q|}{mr^2}}\).

Приведённая в условии формула для напряжённости электрического поля точечного диполя позволяет представить силу \(\vec F = q\vec E\), действующую на точечный заряд, в виде векторной суммы сил \(\vec F_1\) и \(\vec F_2\), первая из которых направлена противоположно дипольному моменту, а вторая — вдоль прямой, соединяющей диполь и заряд, что после раскрытия скалярного произведения \(\vec p\vec r\) с учётом выбранного на первом рисунке направления вектора \(\vec p\) приводит к выражениям \[F_1 = \dfrac{kp|q|}{r^3} \qquad\text{и}\qquad F_2 = 3\dfrac{kp|q|}{r^3}\cos\varphi.\]

Аналогичные выражения для сил имеют место в другой (внешне совсем не похожей) задаче, которую мы сейчас рассмотрим. Пусть маленькое тело массой \(m\) подвесили на невесомой нерастяжимой нити длиной \(r\), отклонили нить до горизонтального положения и отпустили. Какие силы действуют на тело в процессе дальнейшего движения?

Тело будет двигаться по окружности радиусом \(r\) под действием силы тяжести \(F_1 = mg\) и силы натяжения нити \(F_2\). Пусть \(v\) — мгновенная скорость тела, \(\varphi\) — угол отклонения нити (см. второй рисунок), тогда закон сохранения энергии и второй закон Ньютона в проекции на направление центростремительного ускорения имеют вид \[\dfrac{mv^2}{2} = mgr\cos\varphi \qquad\text{и}\qquad m\cdot\dfrac{v^2}{r} = F_2 - mg\cos\varphi,\] откуда находим \(F_2 = 3mg\cos\varphi\). Таким образом, выражения для сил в обоих задачах по сути совпадают, а для полной аналогии между задачами можно выбрать планету с ускорением свободного падения, удовлетворяющим условию \[mg = \dfrac{kp|q|}{r^3}. \tag{1}\] Из рассмотренной аналогии следует, что заряд под действием поля диполя может двигаться по окружности радиусом \(r\), а из единственности решения уравнений движения следует, что именно так он и будет двигаться.

Закон сохранения энергии в процессе движения тела от верхней точки до нижней имеет вид \[\dfrac{mv^2}{2} = mgr,\] откуда с учётом формулы (1) получаем окончательный ответ: \[v = \sqrt{2gr} = \sqrt{\dfrac{2kp|q|}{mr^2}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.