Катер и баржа

Из условий равномерного движения найдите связь коэффициентов сопротивления катера и баржи, а путь до остановки при силе сопротивления, пропорциональной скорости, получите интегрированием второго закона Ньютона.

\(\dfrac{m_2}{m_1} = (\alpha - 1)\beta\).

Поскольку трос длинный, сила сопротивления, действующая на одно судно (катер или баржу), не зависит от движения другого судна. Пусть \(k_1\) и \(k_2\) — коэффициенты пропорциональности между силами сопротивления и скоростями катера и баржи соответственно, \(F_0\) — сила тяги винта, \(v\) — скорость катера с баржей, тогда условия равномерности установившихся движений имеют вид \[F_0 = k_1\cdot\alpha v \qquad\text{и}\qquad F_0 = k_1v + k_2v,\] откуда получаем соотношение \[k_2 = (\alpha - 1)k_1. \tag{1}\] Рассмотрим движение тела массой \(m\), имеющего начальную скорость \(v_0\), под действием силы сопротивления \(\vec F = -k\vec v\), где \(v\) — мгновенная скорость тела, а \(k\) — коэффициент сопротивления. Из второго закона Ньютона в проекции на ось \(x\) вдоль начальной скорости \[ma = -kv\] после интегрирования по времени до момента остановки получаем уравнение \[mv\Big|_{v_0}^{0} = -kx\Big|_0^{S}, \qquad\text{или}\qquad m(v_0 - 0) = -k(0 - S),\] из которого находим путь \(S\), пройденный телом к моменту остановки: \[S = \dfrac{mv_0}{k}. \tag{2}\] Примечание. Предлагаем читателям самостоятельно вывести формулу \(q = LI_0/R\) для заряда \(q\), протёкшего за всё время в контуре, состоящем из катушки индуктивностью \(L\) и резистора сопротивлением \(R\), если начальная сила тока в контуре была равна \(I_0\), и подумать о причинах сходства этой формулы и формулы (2), после чего сравнить свои выводы с описанными в литературе «электромеханическими аналогиями».

Пусть \(m_1\) и \(m_2\) — массы катера и баржи соответственно, тогда формула (2), применённая к их движению по инерции, приводит к уравнению \[\dfrac{m_1v}{k_1}\cdot\beta = \dfrac{m_2v}{k_2},\] из которого с использованием формулы (1) получаем искомое отношение масс: \[\dfrac{m_2}{m_1} = (\alpha - 1)\beta.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.