Шары с полостями

Заполните полости «виртуальными» шарами с отрицательной плотностью, чтобы получить сплошные шары, и сложите силы притяжения всех пар шаров по разные стороны от общей касательной плоскости.

\(F = \dfrac{61568\pi^2}{2025}\,\gamma\rho^2R^4 \approx 300\,\gamma\rho^2R^4\).

Условия касания шаров и их полостей однозначно задают размеры и расположение шаров с полостями: все четыре центра лежат на одной оси \(x\) в точках с указанными на рисунке координатами.

Вместо шаров с полостями рассмотрим шары без полостей и вложенные в них виртуальные шары, совпадающие с бывшими полостями и имеющие противоположные (отрицательные) плотности, чтобы суммарная плотность материала в области полостей по-прежнему была равна нулю.

Обозначим через \(\gamma\) гравитационную постоянную, через \(V = 4\pi R^3/3\) — объём наименьшего шара (бывшей меньшей полости), учтём пропорциональность объёма шара кубу его радиуса и найдём искомую силу \(F\) как векторную сумму сил гравитационного притяжения каждой пары шаров, расположенных по разные стороны от общей касательной плоскости: \[\begin{aligned} F ={}& \dfrac{\gamma\cdot(2\rho\cdot 2^3V)\cdot(\rho\cdot 4^3V)}{(2R+4R)^2} + \dfrac{\gamma\cdot(2\rho\cdot 2^3V)\cdot(-\rho\cdot 2^3V)}{(2R+2R)^2} +{}\\ &+ \dfrac{\gamma\cdot(-2\rho\cdot V)\cdot(\rho\cdot 4^3V)}{(R+4R)^2} + \dfrac{\gamma\cdot(-2\rho\cdot V)\cdot(-\rho\cdot 2^3V)}{(R+2R)^2} =\\ ={}& \dfrac{3848}{225}\cdot\dfrac{\gamma\rho^2V^2}{R^2} = \dfrac{61568\pi^2}{2025}\cdot\gamma\rho^2R^4 \approx 300\,\gamma\rho^2R^4. \end{aligned}\] Примечание. Напомним, что закон всемирного тяготения записывается точной формулой \(F = \gamma m_1m_2/r^2\) только для сферически симметричных тел массами \(m_1\) и \(m_2\), ни одна точка любого из которых не находится внутри другого тела, причём \(r\) — это расстояние между их центрами симметрии, а вот в случае тел иной формы указанная формула становится лишь приближённой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.