Деревянный сердечник

В сверхпроводящем соленоиде потокосцепление сохраняется, поэтому ток компенсирует изменение внешнего потока; сложите моменты магнитных сил и силы тяжести относительно точки опоры.

1) \(\varphi_0 = \arccos\left(1 - \dfrac{\mu_0mg}{2B^2S}\right)\) при \(2B^2S > \mu_0mg\) и \(\varphi_0 = \dfrac\pi2\) при \(2B^2S \leqslant \mu_0mg\);  2) \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2l}{3g\left(2 - \frac{\mu_0mg}{2B^2S}\right)}}\), где \(l\) — длина цилиндрической части карандаша.

Пусть \(N\) — число витков провода, \(\varphi\) — угол отклонения карандаша от вертикали, тогда изменение \(\Delta\Phi\) внешнего магнитного потока через соленоид по сравнению с потоком в вертикальном положении задаётся выражением \[\Delta\Phi = BSN(1 - \cos\varphi).\] Обозначим через \(\mu_0\) магнитную постоянную и пусть \(l\) — длина цилиндрической части карандаша, тогда намотанная на неё проволока образует соленоид, индуктивность \(L\) которого имеет вид \[L = \dfrac{\mu_0SN^2}{l}.\] В сверхпроводящем соленоиде индуцируется ток, который создаст собственный магнитный поток, компенсирующий изменение внешнего магнитного потока, откуда находим силу \(I\) индукционного тока: \[I = \dfrac{\Delta\Phi}{L} = \dfrac{Bl(1 - \cos\varphi)}{\mu_0N}.\] С помощью формулы для момента сил, действующих на виток с током в магнитном поле, выражаем суммарный момент \(M_1\) магнитных сил, действующих на соленоид: \[M_1 = -N\cdot B\cdot IS\cdot\sin\varphi = -\dfrac{B^2Sl(1 - \cos\varphi)\sin\varphi}{\mu_0},\] где минус отражает тот факт, что этот момент стремится уменьшить угол \(\varphi\).

На карандаш действует ещё момент \(M_2\), создаваемый парой сил — реакцией опоры и силой тяжести: \[M_2 = \dfrac{mgl\sin\varphi}{2}.\] Примечание. Пара сил — это цельный термин, а не просто какие-то две силы. Две силы называются парой, только если их векторная сумма равна нулю. Момент, создаваемый парой сил, вычисляется как произведение модуля одной силы на расстояние между линиями действия сил и не зависит от выбора полюса (докажите это самостоятельно). Магнитные силы дают в сумме ноль, а сила тяжести уравновешена реакцией опоры, поэтому при вычислении обоих моментов \(M_1\) и \(M_2\) не было необходимости выбирать полюс.

Запишем суммарный момент \(M\) сил, действующих на карандаш: \[M = M_1 + M_2 = \left(\dfrac{mg}{2} - \dfrac{B^2S(1 - \cos\varphi)}{\mu_0}\right)\cdot l\sin\varphi.\] Из условия равновесия \(M(\varphi_0) = 0\) находим ожидаемое нулевое отклонение в положении неустойчивого равновесия и искомое отклонение \(\varphi_0\) в положении устойчивого равновесия: \[\cos\varphi_0 = 1 - \dfrac{\mu_0mg}{2B^2S}.\] Заметим, что при отрицательном значении выражения для \(\cos\varphi_0\) карандаш не провалится сквозь опору, а будет устойчиво лежать на ней, поэтому полный ответ на первый вопрос выглядит так: \[\varphi_0 = \begin{cases} \arccos\left(1 - \dfrac{\mu_0mg}{2B^2S}\right), & \text{если } 2B^2S > \mu_0mg;\\[2mm] \dfrac\pi2, & \text{если } 2B^2S \leqslant \mu_0mg. \end{cases}\] Для упрощения дальнейших вычислений введём обозначение \[a = \dfrac{\mu_0mg}{2B^2S}\] и перепишем полученные ранее формулы с его использованием: \[\cos\varphi_0 = 1 - a, \qquad M = \dfrac{B^2Sl}{\mu_0}(a - 1 + \cos\varphi)\sin\varphi.\] Лежащий на опоре карандаш колебаться не может, поэтому из возможности рассматриваемых колебаний следует условие \(a < 1\). Выразим эффективную угловую жёсткость \(k(\varphi)\) в произвольном положении и найдём её значение \(k_0\) в положении равновесия: \[k(\varphi) = -\dfrac{dM}{d\varphi} = \dfrac{B^2Sl}{\mu_0}\left(1 - (a - 1)\cos\varphi - 2\cos^2\varphi\right),\] \[k_0 = k(\varphi_0) = \dfrac{B^2Sl}{\mu_0}(2a - a^2) = \dfrac{mgl}{2}(2 - a).\] Положительность \(k_0\) означает, что найденное положение равновесия действительно является устойчивым и колебания около него возможны. Момент инерции \(I\) карандаша относительно оси, проходящей через его точку опоры перпендикулярно карандашу, тогда даётся табличной формулой \(I = ml^2/3\). Искомый период крутильных колебаний имеет вид \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{k_0}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2l}{3g\left(2 - \frac{\mu_0mg}{2B^2S}\right)}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.