Горка и два груза

Для соскальзывания первого груза запишите законы сохранения импульса и энергии; затем перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе с горкой, и повторите то же для второго груза.

1) \(\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{\sqrt{\mu(\mu+2)}+1}{\mu+1}\);  2) \(\mu < \sqrt2 - 1\).

Пусть \(M\) и \(m\) — массы горки без грузов и каждого груза соответственно, \(H\) — начальная высота грузов над плоскостью, \(u_1\) — скорость горки со вторым грузом сразу после соскальзывания первого, тогда законы сохранения импульса и энергии для процесса соскальзывания первого груза имеют вид \[mv_1 = (M+m)u_1 \qquad\text{и}\qquad mgH = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{(M+m)u_1^2}{2},\] откуда с учётом обозначения \(\mu = M/m\) находим скорости: \[v_1 = \sqrt{2gH\cdot\dfrac{\mu+1}{\mu+2}} \qquad\text{и}\qquad u_1 = \sqrt{\dfrac{2gH}{(\mu+1)(\mu+2)}}.\] Примечание. В очередной раз обращаем внимание читателей на то, что каждую осмысленную формулу целесообразно проверять, причём не только по размерности, но и на частные случаи. Например, в случае очень массивной горки (\(\mu\to+\infty\)) ответом должна быть известная формула \(v_1 = \sqrt{2gH}\), а в случае невесомой горки (\(\mu = 0\)) энергия поделится между грузами поровну, то есть ответом должно быть выражение \(v_1 = \sqrt{gH}\). Подстановка указанных значений \(\mu\) в общую формулу для \(v_1\) даёт ожидаемые частные результаты, что свидетельствует в пользу её правильности, то есть является вероятностным подтверждением, так как не даёт полной гарантии.

Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вправо со скоростью \(u_1\), чтобы можно было рассматривать соскальзывание второго груза точно так же, как и первого. Пусть \(v_2'\) и \(u_2'\) — скорости сразу после прекращения контакта тел в выбранной системе отсчёта соответственно второго груза (вправо) и горки без грузов (влево), тогда замена \(\mu+1\) на \(\mu\) в формулах для \(v_1\) и \(u_1\) (такой метод называется «жонглирование индексами») позволяет сразу записать: \[v_2' = \sqrt{2gH\cdot\dfrac{\mu}{\mu+1}} \qquad\text{и}\qquad u_2' = \sqrt{\dfrac{2gH}{\mu(\mu+1)}}.\] Направленная вправо скорость \(v_2\) второго груза и направленная влево скорость \(u_2\) горки в исходной системе отсчёта имеют вид \[v_2 = v_2' + u_1 = \sqrt{\dfrac{2gH}{\mu+1}}\left(\sqrt{\mu} + \dfrac{1}{\sqrt{\mu+2}}\right),\] \[u_2 = u_2' - u_1 = \sqrt{\dfrac{2gH}{\mu+1}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{\mu}} - \dfrac{1}{\sqrt{\mu+2}}\right).\] Примечание. Заметим, что всегда верно условие \(u_2 > 0\), то есть горка в итоге поедет влево, что вполне логично, так как первый груз «пнул» горку вправо, а второй — влево, но во втором случае горка уже «облегчилась» на один груз, так что второй «пинок» сильнее изменил её скорость.

Таким образом, ответ на первый вопрос найден: \[\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{\sqrt{\mu(\mu+2)}+1}{\mu+1}.\] Для ответа на второй вопрос нужно решить неравенство \(u_2 > v_1\), или \[\sqrt{\dfrac{2gH}{\mu+1}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{\mu}} - \dfrac{1}{\sqrt{\mu+2}}\right) > \sqrt{2gH\cdot\dfrac{\mu+1}{\mu+2}},\] откуда после упрощения получаем квадратное неравенство \[\mu^2 + 2\mu - 1 < 0,\] решение которого с учётом физического смысла (\(\mu > 0\)) имеет вид \(\mu < \sqrt2 - 1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.