Уголковый отражатель и осколок линзы

Нумеруйте элементы (первое зеркало, второе зеркало, осколок) и записывайте порядок, в котором лучи прошли через них; не забывайте проверять, что на элемент действительно падает хотя бы один луч от предмета.

1) всего 20 изображений (положения — на рисунке), два из них (\(S_{12}\) и \(S_{21}\)) совпадают; изображения \(S_{213}\) и \(S_{2132}\) лежат вне узлов сетки: расстояния от каждого из них до плоскостей первого и второго зеркал равны \(x = \dfrac{81}{11}r\) и \(y = \dfrac{30}{11}r\) соответственно;  2) \(N = 13, 14, 16, 17, 19, 20\) для \(R/r = 3, 5, 10, 20, 40, 80\).

Изобразим на клетчатой бумаге сечение оптической системы плоскостью, проходящей через главную оптическую ось осколка линзы перпендикулярно обоим зеркалам (см. рисунок). Отметим большими точками основные элементы: общий край зеркал \(C\), источник света \(S\), оптический центр осколка \(O\), его фокусы \(F_1\) и \(F_2\), а также его края \(A\) и \(B\), расположенные на разных расстояниях от центра: \(OA = R > r > OB\).

Чтобы не запутаться при построении изображений, пронумеруем элементы (1 — первое зеркало, 2 — второе зеркало, 3 — осколок линзы) и будем писать в индексе обозначения каждого изображения последовательность номеров элементов, через которые прошли лучи, создавшие данное изображение.

Чтобы не построить лишние изображения, следует каждый раз проверять, что оптический элемент находится в области видимости предмета, то есть что на оптический элемент падает хотя бы один луч от предмета.

Применение обычных правил построения изображений в зеркале и линзе (напомним, что любая часть линзы создаёт изображение там же, где и целая линза, но вот области видимости могут различаться) даёт 20 изображений, два из которых (\(S_{12}\) и \(S_{21}\)) совпадают (см. рисунок).

Для большей ясности рассмотрим некоторые изображения более подробно. Поскольку зеркала полубесконечные, а линза имеет конечный размер, обязательно найдутся лучи, идущие от источника \(S\) к первому зеркалу мимо линзы. После отражения они создадут изображение \(S_1\), но попасть в линзу ни напрямую, ни после отражения ещё и от второго зеркала, создав тем самым изображение \(S_{12}\), они не смогут, в чём легко убедиться, рассмотрев проекции этих лучей на плоскость рисунка, поэтому изображений \(S_{13}\) и \(S_{123}\) не существует.

Есть ровно два изображения (\(S_{213}\) и \(S_{2132}\)), которые лежат не точно на пересечениях линий сетки, поэтому их положения нужно вычислить по формулам. Изображённый на рисунке пунктиром луч создаёт после первого отражения изображение \(S_2\), после второго — \(S_{21}\), а после преломления — \(S_{213}\). Пусть \(f = 2r\) — фокусное расстояние линзы, \(a = 13r\) и \(b\) — расстояния от плоскости линзы до предмета \(S_{21}\) и его изображения \(S_{213}\) соответственно, тогда из формулы тонкой линзы получаем выражение \[b = \dfrac{af}{a - f} = \dfrac{26}{11}\,r,\] а из подобия треугольников, возникающих при проведении луча через оптический центр линзы, находим расстояние \(l\) от \(S_{213}\) до главной оптической оси: \[l = \dfrac ba\cdot 4r = \dfrac{8r}{11}.\] Поскольку \(l < r < R\), рассматриваемый луч может идти в сторону второго зеркала, поэтому изображение \(S_{2132}\) будет существовать при любых значениях \(R\). Таким образом, расстояния \(x\) и \(y\) от любого из изображений \(S_{213}\) и \(S_{2132}\) до плоскостей первого и второго зеркал соответственно имеют вид: \[x = 5r + b = \dfrac{81}{11}\,r, \qquad y = 2r + l = \dfrac{30}{11}\,r.\] Представленные на рисунке изображения построены в предположении \(R \gg r\), а теперь предстоит выяснить, какие из них не будут наблюдаться при меньших значениях \(R\). Для этого нужно для каждого изображения построить создающие его граничные лучи, двигаясь мысленно в направлении к источнику, и найти их точки пересечения с плоскостью линзы. Итогом этих несложных (хотя и многочисленных) построений является первая таблица, из которой следует ответ на второй вопрос (вторая таблица).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.