Капля в трубке между сосудами

Сначала выясните, в какую сторону сместится капля, затем запишите для каждого газа \(PV/T = \text{const}\) в дифференциальной форме и найдите изменение температуры, при котором капля дойдёт до конца трубки.

При \(\Delta T < \Delta T_0 = \dfrac{\alpha T_1T_2}{T_2-T_1}\) капля сместится в сторону второго газа на \(\Delta x = \dfrac{L(T_2-T_1)}{2\alpha T_1T_2}\,\Delta T\); при \(\Delta T > \Delta T_0\) капля стечёт во второй сосуд, после чего газы перемешаются.

Одинаковое абсолютное увеличение температуры обоих газов означает большее относительное увеличение меньшей температуры \(T_1\), поэтому давление первого газа вырастет сильнее и капля будет смещаться в сторону второго газа до восстановления равенства давлений.

Пусть \(P\) — начальное давление в каждом сосуде, \(V\) — объём каждого сосуда, тогда уравнения Менделеева–Клапейрона для каждого газа имеют вид \[\dfrac{PV}{T_1} = \text{const}, \qquad \dfrac{PV}{T_2} = \text{const},\] откуда после логарифмирования и дифференцирования получаем уравнения \[\dfrac{\Delta P_0}{P} + \dfrac{\Delta V_0}{V} - \dfrac{\Delta T_0}{T_1} = 0, \qquad \dfrac{\Delta P_0}{P} - \dfrac{\Delta V_0}{V} - \dfrac{\Delta T_0}{T_2} = 0, \tag{1}\] где \(\Delta V_0\) — изменение объёма, равное половине объёма трубки и имеющее разные знаки для разных газов, а \(\Delta P_0\) и \(\Delta T_0\) — изменения давления и температуры, при которых капля смещается до конца трубки. Правомерность подстановки указанных конечных приращений вместо бесконечно малых дифференциалов \(dP\), \(dV\) и \(dT\) следует из условия \(\alpha \ll 1\). После вычитания уравнений (1) и подстановки соотношения \(\Delta V_0 = \alpha V/2\) получаем выражение \[\Delta T_0 = \dfrac{\alpha T_1T_2}{T_2 - T_1}.\] Таким образом, при больших изменениях температуры (\(\Delta T > \Delta T_0\)) капля стечёт во второй сосуд, после чего газы перемешаются, а при малых изменениях температуры (\(\Delta T < \Delta T_0\)) капля сместится на расстояние \(\Delta x\), которое в силу условия \(\alpha \ll 1\) можно считать линейно зависящим от температуры: \[\Delta x = \dfrac L2\cdot\dfrac{\Delta T}{\Delta T_0} = \dfrac{L(T_2 - T_1)}{2\alpha T_1T_2}\cdot\Delta T.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.