Круговой цикл

Сравните наклон касательной к графику с наклонами изобары, изохоры, изотермы и адиабаты; в точках касания адиабат подвод тепла сменяется отводом и наоборот.

1) в точках 1 и 5 — изобары, в точках 4 и 8 — изохоры, в точках 2 и 6 — изотермы, в точках 3 и 7 — адиабаты;  2) \(A = 3\) Дж;  3) \(\eta = \dfrac18\);  4) \(\Delta T = \dfrac{-Q_{12}-Q_{23}+Q_{34}+Q_{45}-Q_{56}-Q_{67}+Q_{78}+Q_{81}}{3\nu R} \approx 0{,}6\) К.

На \(PV\)-диаграмме изохоры и изобары являются прямыми, параллельными координатным осям, поэтому точки 1 и 5 являются точками касания графика цикла с изобарами, а точки 4 и 8 — с изохорами. Изотерма имеет вид обычной гиперболы, а адиабата — гиперболы более высокой степени, то есть в точке пересечения изотермы и адиабаты касательная к последней имеет больший угол наклона, поэтому точки 2 и 6 являются точками касания графика цикла с изотермами, а точки 3 и 7 — с адиабатами.

В точках 3 и 7 касания графика цикла с адиабатами подвод тепла сменяется отводом и наоборот, что позволяет найти подведённое \(Q_+\) и отведённое \(Q_-\) количества теплоты за цикл: \[Q_+ = Q_{78} + Q_{81} + Q_{12} + Q_{23} = 24\text{ Дж},\] \[Q_- = Q_{34} + Q_{45} + Q_{56} + Q_{67} = 21\text{ Дж}.\] Из закона сохранения энергии выражаем работу газа за цикл: \[A = Q_+ - Q_- = 3\text{ Дж}.\] КПД цикла тепловой машины находим по определению: \[\eta = \dfrac{A}{Q_+} = \dfrac18.\] Работа за цикл пропорциональна площади, ограниченной графиком цикла на \(PV\)-диаграмме. Отрезок, соединяющий точки 1 и 5, является диаметром, то есть делит круг пополам. А поскольку точки 1 и 5 лежат на одной изохоре, работа, совершённая газом в процессе 8–1, на \(A/2\) больше работы, совершённой над газом в процессе 5–8, то есть их алгебраическая сумма равна \(A/2\).

Первое начало термодинамики для процесса 5–1 имеет вид \[-Q_{56} - Q_{67} + Q_{78} + Q_{81} = \dfrac32\nu R\Delta T + \dfrac A2,\] откуда после подстановки \(A\) в общем виде находим последний ответ: \[\Delta T = \dfrac{-Q_{12}-Q_{23}+Q_{34}+Q_{45}-Q_{56}-Q_{67}+Q_{78}+Q_{81}}{3\nu R} \approx 0{,}6\text{ К}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.