КПД цикла из двух изобар и двух изотерм

Выразите работы на всех четырёх участках через работу \(A\) на изобаре 1–2 и учтите, что тепло газ получает на участках 1–2–3.

\(\eta = \dfrac{1}{7} \approx 14\%\).

Изобразим цикл тепловой машины на термодинамической диаграмме в \(pV\)-координатах (см. рисунок): 1–2 и 3–4 — изобары, 2–3 и 4–1 — изотермы. КПД цикла равен отношению совершённой в цикле работы к полученному на участке 1–2–3 количеству теплоты.

Рассчитаем работу на различных участках цикла. Обозначим работу на участке 1–2 через \(A_{12} = A\); тогда по условию для участка 2–3 имеем \(A_{23} = A\). Для расчёта работы на участке 3–4 учтём, что в силу условия задачи \(T_2 = T_3 = T_{\max}\), \(T_1 = T_4 = T_{\min}\), \(T_3 = 2T_4\), \(p_1 = p_2\), \(p_3 = p_4\). Поэтому \(V_3 = (T_3/T_4)V_4 = 2V_4\), \(V_2 = (T_2/T_1)V_1 = 2V_1\), \(p_1 V_1 = p_4 V_4\); отсюда \[A_{34} = -p_4(V_3 - V_4) = -p_4 V_4 = -p_1 V_1 = -p_1(V_2 - V_1) = -A.\] Для расчёта работы на участке 4–1 заметим, что кривая 1–4 получается из кривой 2–3 сжатием в два раза вдоль оси \(V\), поэтому площади под кривыми 1–4 и 2–3 отличаются в два раза: \(A_{41} = -A/2\). Суммарная работа в цикле, таким образом, равна \[A_\Sigma = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41} = A + A - A - \dfrac{A}{2} = \dfrac{A}{2}.\] Рассчитаем полученные газом количества теплоты на участках 1–2 и 2–3. Сообщаемое газу количество теплоты идёт на изменение его внутренней энергии, которая для одноатомного гелия равна \(\dfrac{3}{2}pV\), и на совершение работы: \(Q_{12} = \dfrac{3}{2}p_1(V_2 - V_1) + p_1(V_2 - V_1) = \dfrac{5}{2}A\), \(Q_{23} = A\). Суммарное количество теплоты, полученное на участке 1–2–3, равно \[Q_{123} = Q_{12} + Q_{23} = \dfrac{5}{2}A + A = \dfrac{7}{2}A.\] Следовательно, КПД цикла равен \(\eta = \dfrac{A_\Sigma}{Q_{123}} = \dfrac{1}{7} \approx 14\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.