Скорость изображения в линзе

Продифференцируйте формулу линзы, чтобы связать продольные компоненты скоростей, а поперечные — через луч, идущий через оптический центр.

\(a_0 = 40\) см или \(a_0 = 20\) см.

Введём декартову прямоугольную систему координат, выбрав в качестве начала координат оптический центр \(O\) линзы и направив ось \(X\) от источника \(A\) в сторону центра линзы, а ось \(Y\) — перпендикулярно главной оптической оси в плоскости, проходящей через эту ось и вектор скорости источника. Обозначим координаты источника \(A\) и его изображения \(B\) через \((-a; y_A)\) и \((b; y_B)\) соответственно, а компоненты скорости источника и его изображения — через \((v_{Ax}; v_{Ay})\) и \((v_{Bx}; v_{By})\).

Пусть в начальный момент времени \(t = 0\), когда источник пересекал главную оптическую ось линзы, \(X\)-координаты источника и изображения равнялись \(-a_0\) и \(b_0\) соответственно; тогда по формуле тонкой линзы \[\dfrac{1}{a_0} + \dfrac{1}{b_0} = \dfrac{1}{F}.\] Аналогично, применяя формулу тонкой линзы в момент времени \(\Delta t > 0\), имеем: \[\dfrac{1}{a_0 - v_{Ax}\Delta t} + \dfrac{1}{b_0 + v_{Bx}\Delta t} = \dfrac{1}{F}.\] Вычитая первую формулу из второй, находим: \[\dfrac{v_{Ax}\Delta t}{a_0(a_0 - v_{Ax}\Delta t)} = \dfrac{v_{Bx}\Delta t}{b_0(b_0 + v_{Bx}\Delta t)}.\] Считая \(\Delta t\) малым, получаем выражение для отношения \(X\)-компонент скоростей: \(\dfrac{v_{Ax}}{v_{Bx}} = \dfrac{a_0^2}{b_0^2}\).

Найдём теперь отношение \(Y\)-компонент скоростей источника и изображения. Учтём, что луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется; следовательно, точки \(O\), \(A\) и \(B\) всегда лежат на одной прямой, и угловые коэффициенты прямых \(OA\) и \(OB\) совпадают: \[-\dfrac{y_A}{a} = \dfrac{y_B}{b}.\] В частности, в момент времени \(\Delta t\) получаем: \[-\dfrac{v_{Ay}\Delta t}{a_0 - v_{Ax}\Delta t} = \dfrac{v_{By}\Delta t}{b_0 + v_{Bx}\Delta t}.\] Считая \(\Delta t\) малым, находим: \(\dfrac{v_{Ay}}{v_{By}} = -\dfrac{a_0}{b_0}\).

Как вытекает из условия задачи, \[\dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\beta} = \left|\dfrac{v_{Ay}}{v_{Ax}}\cdot\dfrac{v_{Bx}}{v_{By}}\right| = \dfrac{|b_0|}{a_0}.\] Следовательно, \(b_0 = \pm\dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\beta}\cdot a_0\). Подставляя данное соотношение в формулу тонкой линзы, находим: \(\dfrac{1}{a_0} \pm \dfrac{\operatorname{tg}\beta}{a_0\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{1}{F}\), и \(a_0 = F\left(1 \pm \dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\right)\). Поскольку \(\dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{1}{3}\), то \(a_0 = \dfrac{4}{3}F = 40\) см или \(a_0 = \dfrac{2}{3}F = 20\) см.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.