Шарик между двумя зарядами

Потеря устойчивости наступает, когда поперечные составляющие сил от двух зарядов при малом смещении шарика с оси сравниваются.

\(q_1/q_2 = -8\).

Предположим, что шарик сместился вдоль оси \(Y\), лежащей в плоскости пластины и перпендикулярной к оси \(X\), на небольшое расстояние \(h\) (см. рисунок).

Проекция на ось \(Y\) результирующей силы, действующей на шарик со стороны точечных зарядов, равна \[F_y = F_1\sin\alpha_1 - F_2\sin\alpha_2,\] где \(\sin\alpha_1 = \dfrac{h}{r_1}\), \(\sin\alpha_2 = \dfrac{h}{r_2}\), а \(r_1\) и \(r_2\) — расстояния от шарика до зарядов \(q_1\) и \(q_2\) соответственно. Положение шарика на оси \(X\) будет устойчивым, если \(F_y < 0\). Потеря устойчивости происходит при \(F_1\sin\alpha_1 = F_2\sin\alpha_2\).

Из закона Кулона следует, что \[\dfrac{F_1}{F_2} = \dfrac{q_1}{-q_2}\cdot\dfrac{r_2^2}{r_1^2}.\] Следовательно, \[-\dfrac{q_1}{q_2}\cdot\dfrac{r_2^2}{r_1^2} = \dfrac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1} = \dfrac{r_1}{r_2}.\] Отсюда \[\dfrac{q_1}{q_2} = -\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3.\] При малых \(h\) расстояния \(r_1\) и \(r_2\) примерно равны соответствующим расстояниям, измеренным вдоль оси \(X\). Следовательно \[\dfrac{q_1}{q_2} = -\left(\dfrac{2l}{l}\right)^3 = -8.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.