Траектория с петлями

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром масс: в ней обе точки вращаются по окружностям с прежней угловой скоростью.

\(h = \dfrac{2\pi m_2 L}{m_1 + m_2}\);  \(d = \dfrac{2L}{m_1 + m_2}\left(\sqrt{m_1^2 - m_2^2} - m_2\arccos\dfrac{m_2}{m_1}\right)\).

Обозначим через \(\omega\) угловую скорость вращения точки 2 вокруг точки 1 до момента её освобождения. Введём неподвижную систему отсчёта, выбрав в качестве начала отсчёта времени момент, когда освобождают точку 1, а в качестве начала координат \(O\) — начальное положение центра масс системы, находящегося на расстоянии \(R_1 = \dfrac{m_2 L}{m_1 + m_2}\) от точки 1 и \(R_2 = \dfrac{m_1 L}{m_1 + m_2}\) от точки 2. Направим ось \(x\) вдоль начальной скорости точки 2, а ось \(y\) — вдоль нити от точки 1 к точке 2. В неподвижной системе отсчёта начальная скорость точки 1 равна нулю, а начальная скорость точки 2 равна \(\omega L\) и направлена по оси \(x\). Введём также движущуюся систему отсчёта, координатные оси которой \(x'\) и \(y'\) направлены одинаково с координатными осями \(x\) и \(y\), а начало координат \(O'\) в момент \(t = 0\) совпадает с точкой \(O\) и движется относительно неё со скоростью \(\dfrac{\omega m_2 L}{m_1 + m_2}\) вдоль оси \(x\). В такой движущейся системе отсчёта центр масс системы (точка \(O'\)) неподвижен, поэтому точки 1 и 2 движутся вокруг него по окружностям радиусами \(R_1\) и \(R_2\) соответственно. В начальный момент времени скорости точек 1 и 2 направлены вдоль оси \(x\) и равны \(v_1 = -\dfrac{\omega m_2 L}{m_1 + m_2} = -\omega R_1\) и \(v_2 = \dfrac{\omega m_1 L}{m_1 + m_2} = \omega R_2\) соответственно, поэтому вращение точек 1 и 2 вокруг точки \(O'\) происходит также с угловой скоростью \(\omega\). Точка 2 при этом движется по закону \(x' = R_2\sin\omega t\), \(y' = R_2\cos\omega t\).

Перейдём обратно в неподвижную систему отсчёта. Закон движения точки 2 здесь будет выглядеть следующим образом: \(x = R_2\sin\omega t + \omega R_1 t\), \(y = R_2\cos\omega t\). За время \(\Delta t = 2\pi/\omega\), то есть за период обращения точки 2 вокруг центра масс системы эта точка смещается по оси \(x\) на расстояние, равное шагу траектории: \(\Delta x = h = 2\pi R_1 = \dfrac{2\pi m_2 L}{m_1 + m_2}\).

Чтобы найти ширину петли \(d\), исследуем знак компоненты \(v_x\) скорости точки 2: \[v_x = \dfrac{dx}{dt} = \omega(R_1 + R_2\cos\omega t).\] Видно (см. рисунок), что \(v_x\) меняет знак при \(R_2 > R_1\), то есть при \(m_1 > m_2\). На протяжении первого периода обращения точки 2 вокруг центра масс системы компонента скорости \(v_x\) дважды обращается в ноль — при \(\omega t_1 = \pi - \arccos\dfrac{R_1}{R_2}\) и при \(\omega t_2 = \pi + \arccos\dfrac{R_1}{R_2}\).

В промежутке времени между \(t_1\) и \(t_2\) компонента скорости \(v_x\) отрицательна. За это время точка 2 смещается по оси \(x\) на расстояние, равное \[x(t_2) - x(t_1) = -d = R_1\cdot2\phi - 2R_2\sin\phi = \dfrac{2m_2 L}{m_1 + m_2}\phi - \dfrac{2m_1 L}{m_1 + m_2}\sin\phi,\] где \(\phi = \arccos\dfrac{R_1}{R_2} = \arccos\dfrac{m_2}{m_1}\). Таким образом, ширина петли равна \[d = \dfrac{2L}{m_1 + m_2}(m_1\sin\phi - m_2\phi) = \dfrac{2L}{m_1 + m_2}\left(\sqrt{m_1^2 - m_2^2} - m_2\arccos\dfrac{m_2}{m_1}\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.