Осколки снаряда

Силы взрыва внутренние, поэтому центр масс осколков продолжает двигаться по прежней параболе. Центр масс всегда лежит на отрезке между осколками и делит его в неизменном отношении.

Положения второго осколка \(B_9,B_{10},B_{12}\) (и \(B_{11}=B\)) строятся так: продолжаем параболу «снаряда» и получаем положения центра масс \(K_i\); от \(K_i\) откладываем отрезок в сторону, противоположную первому осколку, длиной \(|A_iK_i|\cdot\dfrac{m_1}{m_2}\), где \(\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{|KB|}{|AK|}\approx\dfrac{1}{2{,}5}\) находится по данным \(A\) и \(B\).

Что происходит. Сила тяжести — единственная внешняя сила, действующая на снаряд до разрыва и на систему двух осколков после него, а силы взрыва внутренние. Поэтому центр масс осколков движется так, как двигался бы неразорвавшийся снаряд: по той же параболе и с тем же ускорением \(\vec g\). Главная идея: положения центра масс в нужные моменты находим продолжением параболы по крестикам снаряда, а положение второго осколка — из условия, что центр масс лежит на отрезке между осколками.

Обозначения. Крестики пронумерованы по порядку, момент \(i\) — момент \(i\)-го крестика (моменты следуют через равные промежутки \(\tau\)). \(K_i\) — положение центра масс осколков в момент \(i\); \(A_i\), \(B_i\) — положения первого и второго осколков; \(m_1,m_2\) — их массы. По условию \(A_{11}=A\) и \(B_{11}=B\).

1. Какие крестики чьи. Крестики \(1\)–\(8\) расположены с равными горизонтальными шагами, а вертикальные шаги растут на одну величину: это движение под действием тяжести, то есть снаряд до разрыва. У крестиков \(9\)–\(12\) горизонтальные шаги тоже равны между собой, но другие и направлены в другую сторону: это первый осколок. Значит, разрыв произошёл между восьмым и девятым моментами.

2. Положения центра масс после разрыва. Для тела, движущегося с ускорением \(\vec g\), положения в последовательные равные промежутки времени удовлетворяют равенству \(\vec r_{n+1}-2\vec r_n+\vec r_{n-1}=\vec g\tau^2\), где вектор \(\vec g\tau^2\) вертикален и направлен по стрелке. Его длину находим по крестикам снаряда: это вторая разность вертикальных координат, и её усредняем по нескольким тройкам крестиков. Затем строим \[\vec K_9=2\vec r_8-\vec r_7+\vec g\tau^2,\qquad \vec K_{10}=2\vec K_9-\vec r_8+\vec g\tau^2,\qquad \vec K_{11}=2\vec K_{10}-\vec K_9+\vec g\tau^2,\ \ldots\] Получаем штриховую параболу и квадратики \(K_9,\ldots,K_{12}\): это положения, где был бы целый снаряд. Закон: второй закон Ньютона для центра масс системы осколков, \((m_1+m_2)\vec a_K=(m_1+m_2)\vec g\), поэтому \(\vec a_K=\vec g\).

3. Отношение масс. По определению центра масс \(m_1\vec r_1+m_2\vec r_2=(m_1+m_2)\vec r_K\), откуда в любой момент \[m_1\overrightarrow{KA}+m_2\overrightarrow{KB}=0 .\] Значит, \(A_i\), \(K_i\), \(B_i\) лежат на одной прямой, \(K_i\) между осколками, а \(\dfrac{|A_iK_i|}{|K_iB_i|}=\dfrac{m_2}{m_1}\) не меняется со временем. В момент \(11\) известны \(A\) и \(B\), а \(K_{11}\) построена: точка \(K_{11}\) лежит на отрезке \(AB\) с точностью чертежа, а измерение даёт \(|AK_{11}|:|K_{11}B|\approx2{,}5\). Следовательно, \(m_2\approx2{,}5\,m_1\).

4. Положения второго осколка. В моменты \(9\), \(10\), \(12\) от каждой точки \(K_i\) проводим луч от \(A_i\) через \(K_i\) и откладываем на нём за \(K_i\) отрезок \[|K_iB_i|=\frac{m_1}{m_2}\,|A_iK_i|=\frac{|A_iK_i|}{2{,}5}.\] Так получаем \(B_9\), \(B_{10}\), \(B_{12}\); точка \(B_{11}\) — заданная точка \(B\) (она служит проверкой построения).

Обратите внимание: квадратики \(K_i\) — не положения какого-либо тела после разрыва, а положения центра масс; ни один из осколков в них не находится. Нельзя искать второй осколок, «отражая» первый относительно параболы: он находится на продолжении отрезка \(A_iK_i\) только при этом отношении масс.

Ответ: положения второго осколка — точки \(B_i\), лежащие на прямых \(A_iK_i\) за точками \(K_i\) на расстояниях \(|A_iK_i|/2{,}5\); \(K_i\) — точки параболы, продолжающей траекторию снаряда.

Проверка. Второй способ — система отсчёта, свободно падающая с ускорением \(\vec g\). В ней оба осколка и центр масс движутся равномерно и прямолинейно из точки разрыва. Вычитая из построенных точек \(B_i\) смещение \(g(i\tau)^2/2\), получаем точки на одной прямой с равными шагами, и эта прямая проходит через точку разрыва, найденную независимо по крестикам \(1\)–\(8\) и \(9\)–\(12\) (между восьмым и девятым моментами, примерно через \(0{,}4\tau\) после восьмого). Предел: если осколки одинаковы (\(m_1=m_2\)), то \(K_i\) — середина отрезка \(A_iB_i\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.