Маятник на вращающейся оси

Втулка и стержень лёгкие, поэтому на всю систему действуют только тяжесть груза и две силы со стороны оси в точке касания. Равнодействующая этих двух сил вертикальна, а моменты сил относительно центра втулки уравновешены.

\(\sin\varphi=\dfrac{\mu R}{(l+R)\sqrt{1+\mu^2}}\); при \(R\ll l\) угол мал: \(\varphi\approx\dfrac{\mu R}{l\sqrt{1+\mu^2}}\). Стержень отклоняется в сторону движения нижней точки оси.

Что происходит. Ось вращается, втулка в равновесии покоится, значит, втулка скользит по оси, и в точке касания \(P\) действует сила трения скольжения \(F=\mu N\), направленная вдоль скорости поверхности оси. Эта сила тянет втулку по направлению вращения и отклоняет маятник; отклонение прекращается, когда момент силы тяжести груза относительно центра втулки сравнивается с моментом силы трения. Главная идея: для системы «втулка + стержень + груз» записать равенство нулю суммы сил и суммы моментов.

Обозначения. \(O\) — центр втулки, \(P\) — точка касания втулки и оси, \(\alpha\) — угол между радиусом \(OP\) и вертикалью, \(\varphi\) — угол отклонения стержня от вертикали. Стержень направлен по радиусу втулки, длина \(l\) на рисунке отсчитана от поверхности втулки, а толщиной её стенки пренебрегаем, поэтому расстояние от \(O\) до груза равно \(l+R\) (если \(l\) отсчитывать от центра втулки, надо всюду писать \(l\) вместо \(l+R\)). Ось вращается против часовой стрелки, как на рисунке.

1. Силы, действующие на систему. Втулка и стержень лёгкие, поэтому на систему действуют три силы: тяжесть груза \(M\vec g\) и две силы со стороны оси в точке \(P\) — нормальная \(\vec N\) вдоль радиуса \(OP\) и трения \(\vec F\) по касательной к втулке, \(F=\mu N\).

2. Равновесие сил. Система покоится, поэтому сумма сил равна нулю: \(\vec N+\vec F+M\vec g=0\). Силы \(\vec N\) и \(\vec F\) перпендикулярны, поэтому \[N^2+F^2=(Mg)^2,\qquad F=\mu N\quad\Rightarrow\quad N=\frac{Mg}{\sqrt{1+\mu^2}},\qquad F=\frac{\mu Mg}{\sqrt{1+\mu^2}}.\] Сумма \(\vec N+\vec F\) направлена вертикально вверх, поэтому радиус \(OP\) отклонён от вертикали на угол трения: \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{F}{N}=\mu\).

3. Равновесие моментов относительно центра втулки. Сумма моментов сил, приложенных к покоящейся системе, равна нулю относительно любой точки; берём \(O\). Линия действия \(\vec N\) проходит через \(O\), её момент равен нулю. Сила \(\vec F\) касается втулки, плечо равно \(R\), момент \(FR\) стремится повернуть систему против часовой стрелки. Сила \(M\vec g\) имеет плечо \((l+R)\sin\varphi\) и поворачивает систему по часовой стрелке: \[Mg\,(l+R)\sin\varphi=FR.\]

4. Угол отклонения. Подставляем \(F\) из шага 2: \[\sin\varphi=\frac{FR}{Mg\,(l+R)}=\frac{\mu R}{(l+R)\sqrt{1+\mu^2}}.\] Груз оказывается на одной вертикали с точкой \(P\): плечо силы тяжести равно \((l+R)\sin\varphi=R\sin\alpha\), это и показано на рисунке.

Обратите внимание: угол трения \(\alpha=\operatorname{arctg}\mu\) относится к радиусу \(OP\) втулки, а не к стержню. Считать, что \(\operatorname{tg}\varphi=\mu\), как для бруска на наклонной плоскости, нельзя: стержень отклонён на меньший угол, \(\sin\varphi=\dfrac{R}{l+R}\sin\alpha\).

Ответ: \(\varphi=\arcsin\dfrac{\mu R}{(l+R)\sqrt{1+\mu^2}}\), стержень отклоняется в сторону движения нижней точки оси; при \(R\ll l\) получаем \(\varphi\approx\dfrac{\mu R}{l\sqrt{1+\mu^2}}\).

Проверка. Аргумент арксинуса безразмерен. При \(\mu\to0\) получаем \(\varphi\to0\): без трения маятник висит вертикально. При \(\mu\to\infty\) втулка «прилипает» к боковой точке оси (\(\alpha\to90^\circ\)), груз висит под точкой касания, и \(\sin\varphi\to\dfrac{R}{l+R}\) — как и должно быть. Второй способ: условие «груз и точка \(P\) на одной вертикали» (линия силы тяжести и линия равнодействующей \(\vec N+\vec F\) совпадают) даёт \((l+R)\sin\varphi=R\sin\alpha\), а \(\sin\alpha=\mu/\sqrt{1+\mu^2}\) — тот же результат. Для рисунка взято \(\mu=\dfrac34\), \(l+R=3R\): \(\sin\alpha=0{,}6\), \(\sin\varphi=0{,}2\), \(\varphi\approx11{,}5^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.