Кастрюля вверх дном

Вода вытекает снизу, когда сила давления воды на дно кастрюли изнутри сравнивается с весом кастрюли и отрывает её от резины. Давление на уровне дна определяется высотой воды в трубке.

Уровень воды в трубке над дном кастрюли не должен превышать \(h=\dfrac{M}{\rho(S_1-S_2)}\) (\(\rho\) — плотность воды). Если \(h\geqslant H\), воду можно налить до верха трубки.

Что происходит. Кастрюля стоит открытой стороной вниз и закрывает собой воду. Вода давит на «дно» кастрюли (оно теперь сверху) изнутри снизу вверх, а сверху на него давит атмосфера. Пока вода не поднимет кастрюлю, резина прижата её краем и вода не вытекает. Вода начнёт вытекать, когда сила давления воды на дно сравняется с весом кастрюли. Главная идея: записать равновесие кастрюли в проекции на вертикаль и найти предельную высоту столба воды.

Обозначения. \(h\) — высота уровня воды в трубке над дном кастрюли, \(\rho\) — плотность воды, \(p_0\) — атмосферное давление, ось \(y\) направлена вверх.

1. Давление воды на дно. На уровне дна кастрюли давление воды равно \(p_0+\rho gh\), а снаружи на дно сверху действует \(p_0\). Избыточное давление изнутри — \(\rho gh\) (давление столба воды в трубке над дном). Давление \(p_0\) в разности сил сокращается.

2. Сила давления воды на кастрюлю. Дно кастрюли имеет площадь \(S_1-S_2\) (на площади \(S_2\) дна нет — там отверстие трубки, и вода в трубке опирается на воду под ней, а не на кастрюлю). Вертикальные стенки и трубка вертикальной силы не создают. Поэтому сила давления на кастрюлю направлена вверх и равна \[F=\rho gh\,(S_1-S_2).\]

3. Условие равновесия кастрюли. На кастрюлю с трубкой действуют вниз сила тяжести \(M\vec g\), вверх сила \(\vec F\) и реакция резины на край кастрюли \(\vec N\) вверх. Кастрюля покоится: \(N=Mg-F\). Пока \(N>0\), край прижат к резине, и вода не вытекает; граница — \(N=0\), то есть \(F=Mg\): \[\rho gh\,(S_1-S_2)=Mg\quad\Rightarrow\quad h=\frac{M}{\rho\,(S_1-S_2)}.\] Для меньшего уровня \(F<Mg\), кастрюля прижата; выше — кастрюлю приподнимает, и вода вытекает.

4. Ограничение трубкой. Уровень не может быть выше верха трубки, то есть высоты \(H\) над дном. Поэтому при \(\dfrac{M}{\rho(S_1-S_2)}\leqslant H\) воду нельзя налить выше \(h\); при \(\dfrac{M}{\rho(S_1-S_2)}>H\) воду можно налить до верха трубки, кастрюля не всплывёт.

Обратите внимание: давление \(p_0\) в расчёте не участвует, и считать надо площадь \(S_1-S_2\), а не \(S_1\): на площади отверстия вода давит не на кастрюлю, а на воду в трубке. Высота \(h\) отсчитывается от дна кастрюли, а не от резины: от резины уровень равен \(H+h\).

Ответ: \(h=\dfrac{M}{\rho\,(S_1-S_2)}\) над дном кастрюли (на \(H+h\) над листом резины); если эта величина больше \(H\), воду можно налить до верха трубки.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{кг}}{\text{кг/м}^3\cdot\text{м}^2}=\text{м}\). Пределы: при \(M\to0\) получаем \(h\to0\), лёгкая кастрюля всплывает от первой капли в трубке; при \(S_2\to S_1\) получаем \(h\to\infty\): кастрюли с дном почти без площади никакая вода не поднимет. Числа: при \(M=1\) кг, \(S_1=100\) см\(^2\), \(S_2=5\) см\(^2\) получаем \(h=\dfrac{1}{1000\cdot0{,}0095}\text{ м}\approx0{,}105\) м. Это согласуется с журнальным решением: там тот же результат \(h=M/(\rho(S_1-S_2))\) и условие существования решения \(h\leqslant H\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.