Человек на платформе

1. Пусть \(v\) и \(u\) — соответственно скорости человека и платформы относительно земли в некоторый момент времени, \(x\) — координата платформы в тот же момент времени, тогда закон изменения импульса (\(\Delta p/\Delta t = F\)) для системы, состоящей из человека и платформы, имеет вид \[\dfrac{\Delta}{\Delta t}(mv + Mu) = -ku,\] откуда после подстановки \(u = \Delta x/\Delta t\) находим \[\dfrac{\Delta}{\Delta t}(mv + Mu + kx) = 0.\] Последнее уравнение означает, что величина в скобках не изменяется со временем, то есть её начальное и конечное значения равны между собой: \[mv_{\text{нач}} + Mu_{\text{нач}} + kx_{\text{нач}} = \text{const} = mv_{\text{кон}} + Mu_{\text{кон}} + kx_{\text{кон}}.\] Поскольку \(v_{\text{нач}} = u_{\text{нач}} = v_{\text{кон}} = u_{\text{кон}} = 0\), после подстановки скоростей и деления на \(k\) получим \(x_{\text{кон}} = x_{\text{нач}}\), то есть платформа вернётся в прежнее положение, а искомое смещение \(S = x_{\text{кон}} - x_{\text{нач}} = 0\).

2. В первом пункте был получен результат \(S = 0\), якобы не зависящий от величины \(k\), поэтому может возникнуть соблазн сразу дать ответ \(S_0 = 0\). Однако такой вывод окажется неверным, так как в процессе преобразований в первом пункте было деление на \(k\), что невозможно в случае \(k = 0\).

Таким образом, поскольку предыдущий метод здесь не даёт результата, воспользуемся свойством сохранения положения центра масс изначально покоившейся системы при отсутствии внешних сил (внутренние силы не изменяют положение центра масс в силу третьего закона Ньютона). Изменение координаты центра масс системы из \(n\) тел массами \(m_1, m_2, \ldots, m_n\) определяется через их соответствующие смещения \(\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n\) следующим образом: \[\Delta x_C = \dfrac{m_1\Delta x_1 + m_2\Delta x_2 + \ldots + m_n\Delta x_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}.\] Применим эту общую формулу к нашему случаю: \[\Delta x_C = \dfrac{M\cdot(-S_0) + m\cdot(L - S_0)}{M + m} = 0,\] откуда \[S_0 = \dfrac{mL}{M + m}.\]