Пузыри

1. Объём капли раствора \(V = 4\pi r^3/3\), общая площадь внутренней и внешней поверхностей плёнки пузыря \(S = 8\pi R_{\max}^2\), количества молекул ПАВ в капле и на поверхностях плёнки соответственно составляют \[N_1 = \dfrac{V}{a^3}\cdot\dfrac1c = \dfrac{4\pi r^3}{3a^3c},\qquad N_2 = \dfrac{S}{a^2} = \dfrac{8\pi R_{\max}^2}{a^2}.\] Поскольку искомый радиус максимален, молекулы ПАВ будут только на поверхностях плёнки, то есть можно приравнять \(N_1\) и \(N_2\): \[\dfrac{4\pi r^3}{3a^3c} = \dfrac{8\pi R_{\max}^2}{a^2},\] откуда \[R_{\max} = \sqrt{\dfrac{r^3}{6ac}} \approx 6{,}5\text{ см}.\] На одном луче, проведённом из центра пузыря, расположено две молекулы ПАВ (одна на внутренней и одна на внешней поверхности), следовательно, вдоль этого луча расположено \(2c\) молекул раствора, откуда находим искомую толщину плёнки: \[h_{\min} = a\cdot2c = 10^{-8}\text{ м}.\] Примечание. Для проверки вычислений или как альтернативный способ нахождения одной из искомых величин можно использовать условие сохранения объёма раствора: \[\dfrac43\,\pi r^3 = 4\pi R_{\max}^2h_{\min}.\] 2. На начальном этапе «слипания» пузырей они притягиваются, так как их энергия уменьшается за счёт уменьшения площади поверхности (рис. 108): вместо двух отмеченных пунктиром сферических плёнок образуется одна плоская, имеющая форму круга радиусом \(y\). Далее будет использоваться условие малости высот \(x_1\) и \(x_2\) шаровых сегментов по сравнению с радиусами пузырей. Из теоремы Пифагора \[y = \sqrt{R_1^2 - (R_1 - x_1)^2} \approx \sqrt{2R_1x_1},\] откуда \[x_1 = \dfrac{y^2}{2R_1}.\] Аналогично \[x_2 = \dfrac{y^2}{2R_2}.\] Уменьшение расстояния между центрами пузырей составляет \[\Delta l = x_1 + x_2 = \dfrac{y^2}{2}\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right).\]

Изменение общей (внутренней и внешней) площади поверхности плёнки составляет \[\Delta S \approx -2\cdot\pi y^2 = -\dfrac{4\pi\,\Delta l}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}}.\] Изменение энергии системы \(\Delta W = \sigma\,\Delta S\). Найдём силу притяжения между пузырями: \[F = -\dfrac{\Delta W}{\Delta l} = \dfrac{4\pi\sigma}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}} \approx 2{,}3\cdot10^{-2}\text{ Н}.\] 3. Мембрана между пузырями будет компенсировать разность давлений \(P_1\) и \(P_2\) внутри пузырей. Пусть \(P_0\) — атмосферное давление, тогда согласно формуле Лапласа для добавочного давления под искривлённой поверхностью \[\dfrac{4\sigma}{R_3} = P_1 - P_2 = \left(P_0 + \dfrac{4\sigma}{R_1}\right) - \left(P_0 + \dfrac{4\sigma}{R_2}\right) = \dfrac{4\sigma}{R_1} - \dfrac{4\sigma}{R_2},\] откуда \[R_3 = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{R_2}} = 0{,}3\text{ м}.\]