Диод

1. Согласно закону сохранения энергии имеем \[\dfrac{mu_1^2}{2} + q\varphi_1 = \dfrac{mu_2^2}{2} + q\varphi_2,\qquad u_2 = u_1\sqrt{1 + \dfrac{2q}{mu_1^2}(\varphi_1 - \varphi_2)}.\] Поскольку при переходе частицы из одной области в другую на неё действует электрическое поле, перпендикулярное границе раздела областей, составляющая скорости частицы, параллельная границе, остаётся неизменной, и, таким образом, \[\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} = \dfrac{u_1}{u_2},\qquad \sin\beta = \sin\alpha\,\dfrac{1}{\sqrt{1 + 2q(\varphi_1 - \varphi_2)/mu_1^2}},\] где \(\beta\) — угол, задающий направление движения частицы во второй области.

2. Ток в цепи перестаёт течь, когда электроны из-за электрического поля в промежутке между анодом и катодом не достигают анода. Запишем закон сохранения энергии: \[\dfrac{mv_0^2}{2} = eU_0,\] откуда \[U_0 = \dfrac{mv_0^2}{2e}.\] 3. Пусть потенциал катода нулевой: \(\varphi_k = 0\), тогда скорость электрона \(v_1\) на расстоянии \(r_1\) от центра диода в области с потенциалом \(\varphi_1\) находим из закона сохранения энергии: \[\dfrac{mv_0^2}{2} - e\varphi_k = \dfrac{mv_1^2}{2} - e\varphi_1,\] откуда \[v_1 = v_0\sqrt{1 + \dfrac{2e\varphi_1}{mv_0^2}}.\] Рассмотрим переход электрона из области с потенциалом \(\varphi_1\) и радиусом \(r_1\) в область с потенциалом \(\varphi_2\) и радиусом \(r_2\), причём \(r_2 - r_1 \ll r_1\) (рис. 182). В этом случае \[v_1 = v_0\sqrt{1 + \dfrac{2e\varphi_1}{mv_0^2}},\qquad v_2 = v_0\sqrt{1 + \dfrac{2e\varphi_2}{mv_0^2}}.\]

Согласно первому пункту задачи компонента скорости электрона, перпендикулярная радиусу, не претерпевает изменения при переходе между областями с различным потенциалом, поэтому \[\dfrac{\sin\alpha}{\sin\alpha_1} = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{\sqrt{1 + 2e\varphi_2/mv_0^2}}{\sqrt{1 + 2e\varphi_1/mv_0^2}}.\] По теореме синусов для треугольника \(OAB\) получаем \[\dfrac{\sin\alpha_1}{r_2} = \dfrac{\sin\beta_1}{r_1}.\] Таким образом, для углов \(\alpha\) и \(\beta_1\) имеем следующую связь: \[\sin\alpha\sqrt{1 + \dfrac{2e\varphi_1}{mv_0^2}}\,r_1 = \sin\beta_1\sqrt{1 + \dfrac{2e\varphi_2}{mv_0^2}}\,r_2.\] Разбивая пространство между катодом и анодом на множество поясков с одинаковым потенциалом на протяжении каждого из них, можно воспользоваться оптическим законом Снеллиуса: если принять для \(i\)-го слоя \[n_i = \sqrt{1 + \dfrac{2e\varphi_i}{mv_0^2}}\,r_i,\] то \[n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2 = \ldots = n_i\sin\alpha_i.\] Для нахождения критического угла \(\alpha_0\) вылета электронов из катода запишем «закон Снеллиуса» для двух поясков, один из которых непосредственно прилегает к катоду, а другой — к аноду, причём в последний из поясков электрон попадает под прямым углом: \[r\sin\alpha_0 = R\sqrt{1 - \dfrac{2eU}{mv_0^2}},\] откуда \[\sin\alpha_0 = \dfrac{R}{r}\sqrt{1 - \dfrac{2eU}{mv_0^2}}.\] Поскольку электроны вылетают из катода равномерно во все стороны, только часть электронов, заключённая внутри телесного угла с раствором \(\alpha_0\), достигнет анода, поэтому в установившемся режиме сила тока через диод составляет \[I = 4\pi r^2n\,\dfrac{2\pi(1 - \cos\alpha_0)}{2\pi} = 4\pi r^2n\left(1 - \sqrt{1 - \left(1 - \dfrac{2eU}{mv_0^2}\right)\dfrac{R^2}{r^2}}\right).\] Здесь необходимо заметить, что формула для синуса критического угла работает только при напряжениях \[U \geqslant U_1 = \dfrac{mv_0^2}{2e}\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right).\] При меньших напряжениях все электроны, вылетающие из катода, достигают анода и ток через диод составляет \(I_0 = 4\pi r^2n\). Схематичный вид зависимости \(I(U)\) показан на рис. 183.