Стеклянная призма

Из соображений симметрии для того, чтобы луч вышел из призмы параллельно \(AC\), отрезок луча \(FG\) должен быть параллелен \(AC\). При этом \(\angle GFD = \angle EFA = \theta/2\) (рис. 220). Тогда из треугольника \(AEF\) находим \(\angle AEF = 180^\circ - 3\theta/2\). Поэтому для преломления в точке \(E\) имеем \[\dfrac{\sin(90^\circ - \theta/2)}{\sin(90^\circ - 3\theta/2)} = n,\qquad \dfrac{\cos(\theta/2)}{\cos(3\theta/2)} = n.\]

После тригонометрических расчётов находим \[\cos(3\theta/2) = \cos(\theta + \theta/2) = \cos\theta\cdot\cos(\theta/2) - \sin\theta\cdot\sin(\theta/2) = 4\cos^3(\theta/2) - 3\cos(\theta/2).\] Подставляя полученное соотношение в закон Снеллиуса, получаем \[\cos(\theta/2) = \sqrt{\dfrac{3n + 1}{4n}},\qquad\text{откуда}\qquad \theta = 2\arccos\left(\sqrt{\dfrac{3n + 1}{4n}}\right) \approx 35^\circ39'.\] Пусть \(\alpha\) — угол падения луча на призму, \(\beta\) и \(\beta + \Delta\beta\) — углы преломления, отвечающие показателям преломления \(n\) и \(n + \Delta n\) (рис. 220). Согласно закону Снеллиуса \(\sin\alpha = n\sin\beta\), откуда, дифференцируя при фиксированном угле падения \(\alpha\), имеем \[n\cos\beta\cdot\Delta\beta + \Delta n\sin\beta = 0.\qquad (263)\] Пусть \(\alpha'\) — угол выхода луча из призмы, \(\beta'\) и \(\beta' + \Delta\beta'\) — углы падения на границе стекло–воздух, отвечающие показателям преломления \(n\) и \(n + \Delta n\) (рис. 220). Тогда аналогично случаю падения можно записать \[n\cos\beta'\cdot\Delta\beta' + \Delta n\sin\beta' = \cos\alpha'\cdot\Delta\alpha'.\qquad (264)\] Поскольку \(n \gg \Delta n\), можно положить \(\alpha = \alpha'\) и \(\beta = \beta'\). Однако следует отметить, что \(\Delta\alpha \neq \Delta\alpha'\) и \(\Delta\beta \neq \Delta\beta'\). Покажем, что \(\Delta\beta = -\Delta\beta'\). Действительно, из треугольников \(AEF\) и \(CHG\) находим \(\angle EFA = 90^\circ - \beta - \theta\) и \(\angle HGC = 90^\circ - \beta' - \theta\). Далее рассмотрим треугольник \(FGD\), для него \(\theta = \angle GFD + \angle FGD\), а поскольку \(\angle FGD = \angle HGC\) и \(\angle GFD = \angle EFA\), имеем \(\beta + \beta' = 180^\circ - 3\theta\). Теперь, производя дифференцирование, приходим к искомому результату: \(\Delta\beta = -\Delta\beta'\). Для нахождения угла \(\varepsilon = \Delta\alpha'\) между двумя выходящими из призмы лучами воспользуемся полученным выше соотношением между \(\Delta\beta\) и \(\Delta\beta'\), а также уравнениями (263) и (264): \[-\Delta\beta = \dfrac{\Delta n\sin\beta}{n\cos\beta} = \Delta\beta' = \dfrac{\varepsilon\cos\alpha - \Delta n\sin\beta}{n\cos\beta},\qquad \varepsilon = 2\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}\,\Delta n = 2\dfrac{\cos(3\theta/2)}{\sin(\theta/2)}\,\Delta n.\] Пользуясь полученными ранее выражениями для \(\cos(3\theta/2)\) и \(\cos(\theta/2)\), приходим к ответу: \[\varepsilon = \dfrac{2}{n}\sqrt{\dfrac{3n + 1}{n - 1}}\,\Delta n \approx 1{,}75'.\] Для определения линейного расстояния \(y\) между двумя изображениями, видимыми в фокальной плоскости объектива, достаточно знать \(f\) и \(\varepsilon\): \[y = f\operatorname{tg}\varepsilon \approx \varepsilon f = \dfrac{2f}{n}\sqrt{\dfrac{3n + 1}{n - 1}}\,\Delta n = 0{,}2\text{ мм}.\]