Капля в тумане

1. Пусть \(m\) и \(v\) — масса и скорость капли в некоторый момент времени \(t\), тогда, поскольку на каплю и туман не действуют внешние силы, из закона сохранения импульса \(m_0v_0 = mv\) получаем \[m = \dfrac{m_0v_0}{v},\] откуда \[dm = -\dfrac{m_0v_0}{v^2}\,dv.\qquad (128)\] За малый промежуток времени \(dt\) на каплю налипнут капельки тумана массой \(dm = \rho S_0v\,dt\). Приравняем выражения для \(dm\) и проинтегрируем их: \[-\dfrac{m_0v_0}{v^2}\,dv = \rho S_0v\,dt,\qquad -m_0v_0\int\limits_{v_0}^{v}\dfrac{dv}{v^3} = \rho S_0\int\limits_0^t dt,\] откуда \[\dfrac{m_0v_0}{2}\left(\dfrac{1}{v^2} - \dfrac{1}{v_0^2}\right) = \rho S_0t,\qquad\text{или}\qquad v(t) = \dfrac{v_0}{\sqrt{1 + 2\rho S_0v_0t/m_0}}.\] 2. Пусть \(S\) — площадь поперечного сечения капли в некоторый момент времени \(t\), тогда в силу сохранения шарообразной формы капли \(S \sim r^2\) и \(m \sim r^3\), где \(r\) — радиус капли, откуда \[\dfrac{S}{S_0} = \left(\dfrac{m}{m_0}\right)^{2/3}.\qquad (129)\] За малый промежуток времени \(dt\) на каплю налипнут капельки тумана массой \[dm = \rho S v\,dt = \rho S_0\left(\dfrac{m}{m_0}\right)^{2/3}v\,dt = \rho S_0\left(\dfrac{v_0}{v}\right)^{2/3}v\,dt,\] где подставлено выражение для \(m\) из соотношения (128), которое верно при отсутствии силы тяжести. Приравниваем выражение для \(dm\) из соотношения (128) и последнее полученное выражение и проинтегрируем их: \[-\dfrac{m_0v_0}{v^2}\,dv = \rho S_0\left(\dfrac{v_0}{v}\right)^{2/3}v\,dt,\qquad -m_0v_0^{1/3}\int\limits_{v_0}^{v}\dfrac{dv}{v^{7/3}} = \int\limits_0^t\rho S_0\,dt,\] откуда \[\dfrac34\,m_0v_0^{1/3}\left(\dfrac{1}{v^{4/3}} - \dfrac{1}{v_0^{4/3}}\right) = \rho S_0t,\qquad\text{или}\qquad v(t) = \dfrac{v_0}{\left(1 + \dfrac{4\rho S_0v_0t}{3m_0}\right)^{3/4}}.\] 3. За малый промежуток времени \(dt\) на каплю налипнут капельки тумана массой \[dm = \rho S_0v\,dt,\] откуда \[dt = \dfrac{dm}{\rho S_0v}.\] Согласно второму закону Ньютона для капли и тумана \(d(mv) = mg\,dt\). Умножим это уравнение на \(mv\), подставим выражение для \(dt\) и проинтегрируем: \[mv\,d(mv) = m^2vg\dfrac{dm}{\rho S_0v},\qquad \int\limits_{m_0v_0}^{mv}mv\,d(mv) = \dfrac{g}{\rho S_0}\int\limits_{m_0}^{m}m^2\,dm,\] откуда \[\dfrac{(mv)^2}{2} - \dfrac{(m_0v_0)^2}{2} = \dfrac{m^3g}{3\rho S_0} - \dfrac{m_0^3g}{3\rho S_0}.\] Продифференцировав полученное уравнение, находим \[v\,dv = \dfrac{g}{3\rho S_0}\,dm.\] Подставив приращение массы \(dm\), получаем \[v\,dv = \dfrac{g}{3\rho S_0}\rho S_0v\,dt,\] откуда \[dv = \dfrac{g}{3}\,dt.\] Следовательно, капля в тумане движется с постоянным ускорением \(g/3\): \[v = v_0 + \dfrac{gt}{3}.\] 4. За малый промежуток времени \(dt\) на каплю налипнут капельки тумана массой \[dm = \rho S v\,dt = \rho S_0\left(\dfrac{m}{m_0}\right)^{2/3}v\,dt,\] откуда \[dt = \dfrac{dm}{\rho S_0\left(\dfrac{m}{m_0}\right)^{2/3}v},\] где использовано соотношение (129). Согласно второму закону Ньютона для капли \(d(mv) = mg\,dt\). Умножим это уравнение на \(mv\), подставим выражение для \(dt\) и проинтегрируем: \[mv\,d(mv) = m^2vg\dfrac{dm}{\rho S_0\left(\dfrac{m}{m_0}\right)^{2/3}v},\qquad \int\limits_{m_0v_0}^{mv}mv\,d(mv) = \int\limits_{m_0}^{m}m^{4/3}m_0^{2/3}g\dfrac{dm}{\rho S_0},\] откуда \[\dfrac{(mv)^2}{2} - \dfrac{(m_0v_0)^2}{2} = \dfrac{3m_0^{2/3}m^{7/3}g}{7\rho S_0} - \dfrac{3m_0^3g}{7\rho S_0}.\] Продифференцировав полученное уравнение, находим \[v\,dv = \dfrac{m_0^{2/3}g}{7\rho S_0}\,m^{-2/3}\,dm.\] Подставив приращение массы \(dm\), получаем \[v\,dv = \dfrac{m_0^{2/3}g}{7\rho S_0}\,m^{-2/3}\rho S_0\left(\dfrac{m}{m_0}\right)^{2/3}v\,dt,\] откуда \[dv = \dfrac{g}{7}\,dt.\] Следовательно, капля в тумане движется с постоянным ускорением \(g/7\): \[v = v_0 + \dfrac{gt}{7}.\]