Шарик в баке с ускорением

Перейдите в систему бака: эффективное ускорение \(\vec g-\vec a\); в установившемся режиме сила сопротивления \(\sim v^2\) уравновешивает «эффективный» вес.

\(\tau=\tau_0\left(1+\dfrac{a^2}{g^2}\right)^{1/4}\).

11-1. Так как сила сопротивления зависит от скорости, то по прошествии небольшого промежутка времени шарик будет двигаться равномерно.

При движении шарика в покоящемся баке скорость установившегося движения может быть найдена из уравнения

\[m \vec{g} + \vec{F}_{\text{арх}} + \vec{F}_{\text{сопр}} = \vec{0}.\]

Это уравнение можно переписать в виде

\[(\rho - \rho_0) V g = \beta v_0^2,\tag{1}\]

где \(\rho, \rho_0\) — плотности шарика и жидкости соответственно, \(V\) — объем шарика, \(\beta\) — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и квадратом скорости.

Так как, по условию, бак высокий, можно пренебречь начальным участком движения, на котором скорость шарика изменяется, тогда \(v_0 = \frac{h}{\tau_0}\), где \(h\) — высота бака. Подставим в (1)

\[(\rho - \rho_0)Vg = \beta \left( \frac{h}{\tau_0} \right)^2.\tag{2}\]

Падение шарика в ускоренно движущемся баке удобно рассматривать в неинерциальной системе отсчета, связанной с баком. В этом случае необходимо учесть силу инерции — \(m\vec{a}\) действующую на шарик. (Отметим, что задачу можно решать и в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью земли).

Можно воспользоваться уравнением (1), в котором следует заменить ускорение свободного падения \(\vec{g}\) на эффективное \(\vec{g}^* = \vec{g} - \vec{a}\). Шарик будет двигаться вдоль линии, по которой направлен вектор \(\vec{g}^*\), и пройдет до дна путь

\[l = h \frac{g^*}{g} = h \frac{\sqrt{a^2 + g^2}}{g},\]

тогда уравнение аналогичное (2) имеет вид

\[(\rho - \rho_0)V \sqrt{a^2 + g^2} = \beta \left( \frac{gh}{\tau \sqrt{g^2 + a^2}} \right)^2.\tag{3}\]

Разделим почленно (2) на (3)

\[\frac{g}{\sqrt{a^2 + g^2}} = \frac{\tau^2}{\tau_0^2} \frac{g^2}{a^2 + g^2}.\]

Откуда

\[\tau = \tau_0 \left( 1 + \frac{a^2}{g^2} \right)^{\frac{1}{4}}.\tag{4}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.