Несвободное падение шарика

Сравните скорость и время падения с формулами для свободного падения. Расхождение говорит о силе сопротивления; проверьте линейную модель, записав связь \(V\), \(T\) и \(h\) через интеграл уравнения движения.

Из значений скорости и времени падения, которые заметно отличаются от \(\sqrt{2gh}\) и \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\), очевидно, что падение действительно не является свободным. Логично предположить наличие силы сопротивления воздуха (шарик маленький, поэтому архимедову силу пренебрежимо малой). Рассмотрим линейную модель \(\vec F_c=-\alpha\vec v\). Направим ось \(x\) вертикально вниз и запишем уравнение движения в проекции на неё: \(m\dfrac{dv_x}{dt}=mg-\alpha v_x\Rightarrow dv_x=g\,dt-\dfrac{\alpha}{m}\,dx\). Просуммировав изменения от начала падения до удара о землю, получим \(V=gT-\dfrac{\alpha}{m}h\), то есть \(\dfrac{gT-V}{h}=\dfrac{\alpha}{m}=\text{const}\). По таблице эта величина постоянна: разброс её значений получается заметно меньше \(5\,\%\) (и даже меньше \(1\,\%\)). Взяв среднее значение, находим \(\dfrac{\alpha}{m}=(0{,}3330\pm0{,}0025)\) с\(^{-1}\), откуда \(\alpha\approx1{,}20\cdot10^{-4}\) кг/с. Погрешность определения \(\alpha\) лишь немного хуже точности, с которой известны \(m\) и \(g\). Для более серьёзной проверки вычисляем теоретические \(V\) и \(h\) по времени падения с помощью решения уравнения \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{\alpha}{m}v\): \(V(t)=\dfrac{mg}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t/m}\right)\) и \(h(t)=\dfrac{mg}{\alpha}\,t-\dfrac{m^2g}{\alpha^2}\left(1-e^{-\alpha t/m}\right)\); все экспериментальные значения попадают в интервалы погрешностей теоретических значений, модель описывает данные с требуемой точностью.