Планета, которая гуляла сама по себе

Давление аргона у поверхности задано весом аргона и постоянно, пока есть пар. Когда пар конденсируется, давление складывается из давления жидкого слоя и давления насыщенного пара при новой температуре.

Давление аргона на поверхность планеты определяется его весом и поэтому постоянно: \(p_0=\dfrac{mg}{S}\) (здесь \(m\) — масса аргона, \(g\) — ускорение свободного падения вблизи поверхности, \(S\) — площадь поверхности). Согласно условию, \(p_0=\varphi_0\,p_H(T_0)\), где \(p_H(T_0)\) — давление насыщенного пара аргона при начальной температуре. Гелий при указанных температурах не конденсируется, поэтому его парциальное давление просто добавляется к \(p_0\) и не влияет на начало конденсации аргона при охлаждении до температуры \(T_1\), определяемой из условия \(p_0=p_H(T_1)\). Запишем линейную зависимость \(p_H(T)=\alpha+\beta T\). Тогда \(p_H(T)=\dfrac{p_0}{\varphi_0x_1}\left[\varphi_0+x_1-1+(1-\varphi_0)\dfrac{T}{T_0}\right]\). После начала конденсации давление аргона на поверхность планеты остаётся прежним, но теперь оно складывается из давления слоя жидкого аргона глубиной \(h\), равного \(\rho gh\) (\(\rho\) — плотность жидкого аргона; растворением гелия в жидком аргоне пренебрегаем), и давления насыщенных паров над поверхностью при новой температуре: \(p_0=\rho gh+\dfrac{p_0}{\varphi_0x_1}\left[x_1-(1-\varphi_0)x\right]\), где введено обозначение \(x=\dfrac{T_0-T}{T_0}\) (относительное уменьшение температуры). Из этого уравнения находим \(h(x)=\dfrac{p_0}{\rho g}\,\dfrac{1-\varphi_0}{\varphi_0}\left(\dfrac{x}{x_1}-1\right)\). При дальнейшем понижении температуры (\(x>x_1\)) глубина океана растёт по линейному закону. Заметим также, что \(\dfrac{p_0}{\rho g}=\dfrac{m}{\rho S}=h_{\max}\) — максимальная глубина аргонового океана, достигаемая, когда весь аргон сконденсируется. Глубина океана равна половине максимальной при \(\dfrac{1-\varphi_0}{\varphi_0}\left(\dfrac{x}{x_1}-1\right)=\dfrac12\), то есть \(x=\dfrac{2-\varphi_0}{2(1-\varphi_0)}\,x_1\equiv x_2\). Соответственно для достижения этой глубины нужно ещё понизить температуру на \(\Delta x=x_2-x_1=\dfrac{\varphi_0}{2(1-\varphi_0)}\,x_1=0{,}6\,\%\).